Radio de un círculo más grande inscrito bajo $y=\frac{1}{(1+x^2)^n}$, cerrada de forma

Question

La curva de $y=\frac{1}{1+x^2}$ tiene una evidente conexión con los círculos, porque es la derivada de la función arcotangente.

Además, si nos inscribir un círculo debajo de ella, su radio es exactamente $R=\frac{1}{2}$, por lo que se necesita exactamente un cuarto de la totalidad del área bajo la curva.

En realidad, no sé una manera fácil de encontrar$R$, incluso en este caso simple. Por lo tanto, vamos a considerar cómo puedo resolver el problema más general.

Encontrar el círculo mayor ajuste entre la curva de $y=y (x)$ y la línea de $y=0$

$$y(x)=\frac{1}{(1+x^2)^n}~~~~~~ n=1,2,3,\dots$$

La distancia desde el círculo origen $(0,R)$ a de la curva es el mínimo de una función:

$$s(x)=\sqrt{x^2+\left(R-\frac{1}{(1+x^2)^n} \right)^2}$$

$$s(x)'=0$$

La condición para que el círculo inscrito es $s(x)=R$.

Vamos a denotar:

$$t=1+x^2$$

Luego de lo anterior, podemos obtener el sistema de ecuaciones:

$$t^{2n+1}+2n~R~t^n-2n=0$$

$$t^{2n+1}-t^{2n}-2~R~t^n+1=0$$

Así es como conseguí la solución para $n=1$ (usando Mathematica). Otras soluciones no tienen evidentes formas cerradas. Aquí está el número de raíces que tengo con Mathematica:

$$R_2=0.4735710971151933$$

$$R_3=0.4401444298014721$$

$$R_4=0.41216506385826285$$

Y así sucesivamente.

Las preguntas que yo hago:

Puede haber formas cerradas para$R$$n \neq 1$? Cómo encontrarlos?

Hay una manera más fácil encontrar $R$? Al menos para algunos $n$?

Editar

El más simple de la ecuación de $t$, por lo que puedo ver, es:

$$(n+1)~t^{2n+1}-n~t^{2n}-n=0$$

Creo que podría hacerle una pregunta por separado acerca de esta ecuación. Es fácil resolver por Newton-Raphson, pero puede tener la forma cerrada de soluciones para cualquier $n$?

Answer 1

Es posible encontrar puntos tangentes y el círculo de contacto para determinado $n$ con el convencional y clásica multiplicador de Lagrange método. El círculo puede ser el objeto, y dada la curva de la función de limitación o vice-versa. Una especie de no-lineal de la programación en la Investigación de Operaciones.

Obtenido el mismo contacto con los radios de valores para cada una de las $n$ como el OP.

$R = \lambda $ parámetro círculos con el eje x de la tangente en el origen son

$$ F = x^2 + (y-\lambda)^2 = x^2 +y^2 -2 y \lambda = 0 \tag{1} $$

$$ y = 1/(1+x^2)^n ;\, \rightarrow G = y (1+x^2)^n - 1 =0 \tag{2} $$

We have a constant Lagrange multiplier $$ \frac{F_x}{F_y}= \frac{G_x}{G_y} = C, \; \tag{3} $$

which after algebraic simplification yields the required link relation:

$$ 2 n y (y-x) = ( 1 + x^2) \; \tag{4} $$

Solving together (1), (2) and (4) we get $ x,y, \lambda = R $ that allow the curves and maximum radius contacts to be sketched as follows for $n = 1,3,6,20.$

The radius cannot be fully expressed in closed form , but only as an algebraic number in a field given from Mathematica for $ n\ne 1 $ ejemplo:

    n=3, \; \lambda = R =  AlgebraicNumber[
    Root[-8192 + 10240 #1^2 + 9984 #1^4 + 5120 #1^6 + 1520 #1^8 + 
    264 #1^10 + 25 #1^12 + #1^14 &, 2], {1/6, 0, 5/12, 0, 1/4, 0, 11/
    192, 0, 7/1536, 0, 0, 0, 0, 0}]

EDICIÓN 1 (suprimido)

Answer 2

El radio de curvatura de una función de $f(x)$ es

$$ \rho =- \frac{ \left( 1 + \left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}f(x)\right)^2 \right)^\frac{3}{2} } { \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}x^2} f(x) } $$

_{NOTA: Si la curva está dada implícitamente, a continuación, $$\rho = \frac{ (x'^2+y'^2)^\frac{3}{2}}{y' x'' - y'' x'}$$}

Caso 1

Considere la posibilidad de $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$

$$ \rho = -\frac{ \left(1+\frac{4 x^2}{(1+x^2)^4} \right)^\frac{3}{2}} { \frac{2(3 x^2-1)}{(1+x^2)^3} } $$

y para $x=0$ el círculo es $\rho =\frac{1}{2}$ como se esperaba.

Caso 2

Considere la posibilidad de $f(x) = \frac{1}{(1+x^2)^n}$

El radio de curvatura es

$$ \rho = \frac{ \left( 4 n^2 x^2 + (1+x^2)^{2(n+1)}\right)^\frac{3}{2} }{ \tfrac{2 n (1-x^2 (2n+1))}{(1+x^2)^{-(2n+1)}}} $$

y para $x=0$ la curvatura es, simplemente, ${\rho = \frac{1}{2n}}$

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Ahora el círculo va a ser tangente a la curva (uno de los curvatura círculos) y su centro va a estar situado en

$$ x_c = x - \frac{ y' (1+y'^2)}{y''} \\ y_c = y + \frac{1+y'^2}{y''} $$

_{aquí $y' = \frac{{\rm d}}{{\rm d}x} f(x)$ $y'' = \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}x^2} f(x)$}

Para el círculo para que sea tangente a $y=0$, su centro tiene que ser en $y_c = \rho$ o

$$ y + \frac{1+y'^2}{y''} = - \frac{(1+y'^2)^\frac{3}{2}}{y''} $$

Para $y=\tfrac{1}{1+x^2}$ mi CAS afirma que la solución (además de a $x=0$) es el de las raíces de

$$ 2 x^{16} + 15 x^{14} + 48 x^{12} + 97 x^{10} + 126 x^8+81 x^6-20 x^4 -33 x^2 = 12$$

$ x = 0.759119999241623 $ o $\rho = 4.32460278011942$, pero que termina siendo un círculo sobre la curva.

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Para el caso general de $y = \frac{1}{(1+x^2)^n}$ la ecuación a resolver es

$$ \left( (1+x^2)^{2(n+1)} + 4 n^2 x^2\right)^\frac{3}{2} + (1+x^2)^{3(n+1)} + 2 n ( 1+x^2)^{n+1} \left( 4 n x^2 + x^2 -1 \right) = 0 $$