Suma de Euler-Maclaurin

Question

Uso de la fórmula de suma EM estimación $$ \ sum_ {k = 1} ^ n \ sqrt k $$

hasta el término que implica$\frac{1}{\sqrt n}$

Mi intento es $$ \ sum_ {k = 1} ^ n \ sqrt k = \ frac {2 \ sqrt {n ^ 3}} {3} - \ frac {2} {3} + \ frac 1 2 (\ sqrt n -1) + \ frac {1} {24} (\ frac {1} {\ sqrt n} -1) + \ int_1 ^ n P_ {2k +1} (x) f ^ {(2k +1)} (x) dx $$ No estoy seguro de qué se puede decir sobre la integral. Por favor, dime si he cometido un error y cómo puedo resolver la integral. ¿He detenido la suma en el punto correcto?

Answer 1

El uso de Euler-Maclaurin de la Suma de la Fórmula, obtenemos $$ \sum_{k=1}^n\sqrt{k}=\tfrac23n^{3/2}+\tfrac12n^{1/2}+\zeta(-\tfrac12)+\tfrac1{24}n^{-1/2}-\tfrac1{1920}n^{-5/2}+\tfrac1{9216}n^{-9/2}+O(n^{-13/2}) $$ donde la constante $\zeta(-\frac12)=-0.20788622497735456602$ se explica a continuación.

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Por Euler-Maclaurin Fórmula de la Suma, tenemos para $\mathrm{Re}(s)\gt-1$ $$ \sum_{k=1}^nk^{s}=\frac1{1-s}n^{1-s}+\frac12n^{-s}+\zeta_\ast(s)+O(n^{-s-1})\etiqueta{1} $$ Definir la secuencia de funciones $$ \zeta_n(s)=\sum_{k=1}^nk^{-s}-\frac1{1-s}n^{1-s}-\frac12n^{s}\etiqueta{2} $$ Para todos $n\ge1$, $\zeta_n(s)$ es analítica. Para $\mathrm{Re}(s)\gt1$, $\lim\limits_{n\to\infty}\zeta_n(s)=\zeta(s)$. Estimación de $(1)$ dice que en subconjuntos compactos de $\mathrm{Re}(s)\gt-1$, $\zeta_n(s)$ converge uniformemente. Por lo tanto, para $\mathrm{Re}(s)\gt-1$, $\lim\limits_{n\to\infty}\zeta_n(s)$ es analítica, así que por la continuación analítica, para $\mathrm{Re}(s)\gt-1$, $$ \zeta_\ast(s)=\lim\limits_{n\to\infty}\zeta_n(s)=\zeta(s)\etiqueta{3} $$

Answer 2

La correcta expansión está dado por

$$\begin{align} \sum_{i=1}^n f(i) &= \int_1^n f(x)dx + B_1 [f(n)+f(1)]\\\\ & + \sum_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(1)\right)\\\\ & +\frac{1}{(2m+1)!}\int_1^n P_{2m+1}(x)f^{(2m+1)}(x) \end{align}$$

Para$f(x)=x^{1/2}$$m=1$, tenemos

$$\begin{align} \sum_{i=1}^n\sqrt{i}&=\frac23 (n^{3/2}-1)+\frac12 (n^{1/2}+1)+\frac{1}{24}(n^{-1/2}-1)+\frac{1}{3!}\int_1^n P_3(x)f^{(3)}(x)dx\\\\ &=\frac23x^{3/2}+\frac12n^{1/2}+\left(-\frac23+\frac12-\frac{1}{24}\right)+\frac{1}{24}n^{-1/2}+\frac{1}{3!}\int_1^n P_3(x)f^{(3)}(x)dx \end{align}$$

La siguiente tarea es determinar una estimación para el resto $R$ donde $R$ es la integral

$$R\equiv \frac{1}{3!}\int_1^n P_3(x)f^{(3)}(x)dx$$

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Podemos obtener una estimación de la integral plazo

$$\int_1^n P_{3}(x)f^{(3)}(x)dx \tag1$$

utilizando la conocida expresión para el Polinomio de Bernoulli

$$B_3(x)=x^3-\frac32 x^2+\frac12 x$$

Podemos comprobar fácilmente que

$$-\frac{1}{12\sqrt{3}}<B_3(x)<\frac{1}{12\sqrt{3}}$$

para $x\in [0,1]$. Desde $P_{2k+1}(x)=B_{2k+1}(x-\lfloor x\rfloor)$, entonces podemos ver de inmediato que para $1<x<n$

$$-\frac{1}{12\sqrt{3}}< P_{3}(x) < \frac{1}{12\sqrt{3}}\tag 2$$

Ahora, tomamos nota de que para $f(x)=x^{1/2}$, $f^{3}(x)=\frac38 x^{-5/2}>0$ para $x\in [1,n]$. Ahora, utilizamos $(2)$ en la estimación de $(1)$ a revelar

$$\begin{align} -\frac{1}{48\sqrt{3}}\left(1-n^{-3/2}\right)<\int_1^n P_{3}(x)f^{(3)}(x)dx \le \frac{1}{48\sqrt{3}}\left(1-n^{-3/2}\right) \end{align}$$

Por último, tenemos los límites inferiores y superiores

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\sum_{k=1}^n\sqrt{k}\le \frac23x^{3/2}+\frac12n^{1/2}+\left(-\frac{5}{24}+\frac{1}{288\sqrt{3}}\right)+\frac{1}{24}n^{-1/2}-\frac{1}{288\sqrt{3}}n^{-3/2}}$$

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\sum_{k=1}^n\sqrt{k}\ge \frac23x^{3/2}+\frac12n^{1/2}+\left(-\frac{5}{24}-\frac{1}{288\sqrt{3}}\right)+\frac{1}{24}n^{-1/2}+\frac{1}{288\sqrt{3}}n^{-3/2}}$$