Utilice $\alpha, \beta, \gamma $ raíces de un polinomio para construir otro polinomio

Question

Dejemos que $\alpha, \beta, \gamma $ ser raíces $\in \mathbb{C}$ de $x^3-3x+1$ . Determinar un polinomio mónico, grado $3$ Las raíces de las brujas son $1- \alpha^{-1},1-\beta^{-1},1-\gamma^{-1}$

El problema es que no puedo usar ninguna fórmula para calcular las raíces de $x^3-3x+1$ a no ser que se utilice la fórmula cuadrática o el teorema de Gauss (aunque podría no ser necesario)

Answer 1

Considere $(x-1+\alpha^{-1})(x-1+\beta^{-1})(x-1+\gamma^{-1})$ . Utilizando las fórmulas de Vieta, determine sus coeficientes dados los coeficientes de $x^3-3x+1=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ .

Answer 2

Si $y=1-\frac 1 x$ puede escribir $x=\frac 1{1-y}$ y, a continuación, sustituyendo en su ecuación $x^3-3x+1$ y simplificando, se obtiene:

$$y^3-3y+1=0$$

Así, si $x$ es una raíz de su polinomio, también lo es $1-\frac 1 x$ .