Más raro integral

Question

Yo he llegado un poco extraño integral $$\int_0^{5} \frac{\ln(y)}{(y+3)\sqrt{y}} dy,$$ Y estoy teniendo algunas dificultades a partir de la $u$-método de sustitución. Tuve la intuición de que Puedo tomar $\sqrt{y} = u$ e lo $\frac{1}{2\sqrt{y}}dy = du.$ Sin embargo, este método parece enredarse con las cuestiones relacionadas con la para el registro natural en el numerador. Sentí que podría comenzar integración por partes, pero luego pensé que podría ser un limpiador de con el método de fracciones parciales. Podría alguien darme algunas sugerencias en cualquiera de los métodos en este problema?

Answer 1

$$\int \frac{\log(y)}{(y+3)\sqrt{y}} dy$$ $t=\sqrt{y},\;\; y=t^2,\;\;dy=2t\,dt$ $$=4\int \frac{\log(t)}{t^2+3} dt$$ $u=\log(t),\;\;du=\frac 1t,\;\; v=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right),\;\; dv = \frac{1}{t^2+3}$ $$=4\left(\frac{\log(t)}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)-\frac{1}{\sqrt{3}}\int\frac{\arctan\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)}{t}dt\right)$$ Buscando en la final de la integral, obtenemos que $$\int\frac{\arctan\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)}{t}dt$$ $$=\frac{i}{2}\left(\int\frac{\log\left(1-\frac{t}{\sqrt{3}}\right)}{t}dt-\int\frac{\log\left(1+\frac{t}{\sqrt{3}}\right)}{t}dt\right)$$ $$=\frac{i}{2}\left(I_1 - I_2\right)$$ $u=\frac{t}{\sqrt{3}},\;\; t=u\sqrt{3},\;\; dt=du\sqrt{3}$ $$I_1 = -\int\frac{-\log(1-u)}{u}du = -\operatorname{Li_2}(u) = -\operatorname{Li_2}\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)$$ $u=\frac{-t}{\sqrt{3}},\;\; t=-u\sqrt{3},\;\; dt=-du\sqrt{3}$ $$I_2 = -\int\frac{-\log(1-u)}{u}du = -\operatorname{Li_2}(u) = -\operatorname{Li_2}\left(\frac{-t}{\sqrt{3}}\right)$$ Poniendo todo esto junto, obtenemos $$\frac{4\log(t)}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)+\frac{i}{2\sqrt{3}}\left[\operatorname{Li_2}\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)+\operatorname{Li_2}\left(\frac{-t}{\sqrt{3}}\right)\right]$$ $$=\color{red}{\frac{4\log(t)}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)+\frac{i}{4\sqrt{3}}\operatorname{Li_2}\left(\frac{t^2}{3}\right)}$$ Para ello se utiliza el Polylogarithm. Aquí hay un enlace a la página de la Wikipedia sobre el tema.

Answer 2

Esto es más de un comentario ya que no estoy seguro de que esto es lo que estás buscando, pero si usas$t=\sqrt y$$dy=2t\ dt$. El integrando se convierte en

$$2t \frac{\ln t^2}{(t^3+3t)}=4\frac{\ln t}{t^2+3}$$

Luego por partes, $u=4\ln t$$dv=\frac{1}{t^2+3}$. Esto le da a $du=\frac{4}{t}$ $dv$ es una función arctan.

Esto le deja con un nuevo integrando el que se parece a $\frac{\arctan t}{t}$ cual es POSIBLE con la polylogarithmic funciones, pero no con funciones elementales.