Probabilidad en el juego de la fiesta de la mafia/hombre lobo

Question

Vale, primer post en este tablón de Stack Exchange, y no soy matemático, así que me falta un poco de jerga adecuada. Pero aquí va.

Actualmente estoy jugando en un foro a un juego conocido como hombres lobo, que está basado en el más conocido juego de fiesta de la mafia. Hay un número de jugadores (11 en nuestro caso), entre los que hay un número de hombres lobo (supongamos que son 3; el número real es desconocido pero puede ser una variable en los cálculos). Entre los no hombres lobo puede haber una bruja que tiene una poción de vida, y un ángel de la guarda que puede elegir a alguien (pero no a ella misma) para proteger durante una noche. Por la noche, los hombres lobo eligen a alguien para atacar. Si esa persona estaba protegida por el ángel de la guarda, fracasa. Si no, la bruja puede salvar a la víctima moribunda con su poción.

Después de la primera noche, observamos que nadie había muerto. Esto significa que, o bien el ángel había hecho una elección afortunada, o bien la bruja salvó a la víctima. Hay que tener en cuenta que el ángel no tiene ninguna información sobre nadie y podría proteger accidentalmente a un hombre lobo (que no estaba en peligro). Los hombres lobo tampoco saben nada sobre los roles de nadie más que los de sus compañeros.

Es bastante fácil calcular las probabilidades de que el ángel haga una elección afortunada. Es la probabilidad de que elija a un no-lobo multiplicada por la probabilidad de que la persona atacada haya sido elegida. La probabilidad de que elija a un no-lobo es (11 - 1 - 3)/10. La posibilidad de que la persona protegida sea la atacada es de 1/8. Así que esto termina con 7/80 o 0.0875. He ejecutado un pequeño programa que simula esto para verificar este resultado.

Ahora estamos tratando de averiguar cuáles son las probabilidades de que el resultado después de la primera noche, es decir, que nadie murió, se deba al ángel de la guarda. Yo creo que es simplemente la probabilidad de que el ángel haya protegido a la persona correcta. Pero otro jugador en la discusión cree que la probabilidad es mucho mayor, porque observamos que nadie murió y por lo tanto el escenario de un asesinato exitoso está excluido.

Según yo, eso es utilizar falsamente el resultado como condición. Por ejemplo, afirmar que el lanzamiento de una moneda tiene un 100% de probabilidades de salir cara después de lanzarla y ver que sale cara. Sin embargo, esto es algo más complejo y puede que me esté perdiendo algo.

¿Cuál es la forma correcta de determinar las probabilidades de que, dada la situación actual (nadie murió anoche), esto se haya producido debido a una elección afortunada del ángel?

EDIT: he añadido algo más de información. A la bruja se le dice por la noche quién ha sido atacado si esa persona no resulta ser el protegido del ángel. Se supone que si la bruja es atacada y no está protegida, siempre usará la poción de vida sobre sí misma. De lo contrario, la elección de usar la poción es suya. Los hombres lobo no pueden atacarse entre sí. Conocen la identidad de los demás y pueden comunicarse. Se ponen de acuerdo colectivamente en un solo objetivo.

Answer 1

Todavía falta un poco de información, y es la probabilidad de que la bruja salve a un jugador moribundo que no sea ella misma (estamos asumiendo que siempre se salvaría a sí misma en la primera noche si lo necesitara).

Por ahora, vamos a suponer que es muy egoísta y que nunca usaría su poción con nadie más que con ella misma. Podemos volver a esta suposición más tarde.

En primer lugar, ¿cuáles son las probabilidades de que nadie muera después de la primera noche? Llamemos a esto $P(s)$ para la "probabilidad de supervivencia". Bajo nuestro supuesto de bruja egoísta, la supervivencia sólo puede ocurrir si los hombres lobo intentan atacar a un jugador bajo la protección del ángel de la guarda, o si atacan a la bruja (que se salvaría). Llamemos a la probabilidad de que ocurra lo primero $P(g)$ para la "probabilidad de que el jugador atacado estuviera vigilado", y la última $P(w)$ para la "probabilidad de que el jugador atacado sea la bruja". Así, obtenemos lo siguiente: $$ P(s) = P(g) + P(w) - P(g \cap w) $$

El último término representa el caso en el que los hombres lobo atacan a la bruja, que es también la que está siendo protegida por el ángel de la guarda. La razón por la que tenemos que restar este caso es porque, de lo contrario, ¡se contaría dos veces! Una vez en $P(g)$ y una vez en $P(w)$ . Lea sobre el principio de inclusión-exclusión para obtener más detalles al respecto.

Has calculado $P(g)$ correctamente como la probabilidad de que el ángel de la guarda eligiera a un no-hombre-lobo por la probabilidad de que los hombres-lobo atacaran a esa persona. Es decir: $$ P(g) = \frac{7}{10}\times\frac{1}{8} = \frac{7}{80} = 0.0875 $$

La probabilidad de que los hombres lobo atacaran a la bruja es simplemente $$ P(w) = \frac{1}{8} = 0.125 $$

Las probabilidades de que los hombres lobo ataquen a una bruja protegida por el ángel de la guarda se pueden calcular multiplicando la probabilidad de que el ángel de la guarda haya decidido proteger a la bruja (1 entre 10) y la probabilidad de que los hombres lobo hayan decidido atacar al jugador doblemente protegido (1 entre 8). En otras palabras: $$ P(g \cap w) = \frac{1}{10}\times\frac{1}{8} = \frac{1}{80} = 0.0125 $$ Por lo tanto, si introducimos esto en nuestra ecuación para $P(s)$ obtenemos: $$ P(s) = 0.0875 + 0.125 - 0.0125 = 0.2 $$

Como mencionó Greg Snow, podemos utilizar Teorema de Bayes para encontrar nuestra respuesta. Dado que queremos saber qué probabilidad hay de que el ángel de la guarda sea la razón de una primera noche en la que no muere nadie, lo que intentamos resolver se parece a esto: $P(g|s)$ . Esto se lee como "la probabilidad de $g$ dado que $s$ es verdadera", o simplemente "la probabilidad de $g$ dado $s$ ". Como dice el teorema de Bayes, esto es igual a lo siguiente: $$ P(g|s) = \frac{P(g)\times P(s|g)}{P(s)} $$ Sabemos que $P(g)$ es $0.0875$ y sabemos que $P(s)$ es $0.2$ Pero, ¿qué es? $P(s| g)$ ? Es decir, ¿cuál es la probabilidad de que nadie muera la primera noche dado que los hombres lobo atacaron a un jugador protegido por un ángel guardián? Claramente, eso es siempre $1$ . Así que: $$ P(g|s) = \frac{0.0875 \times 1}{0.2} = \frac{0.0875}{0.2} = 0.4375 $$ Y ya está. Asumiendo que la bruja siempre guarda su poción para sí misma, la probabilidad de que una suposición afortunada del ángel de la guarda haya causado la noche segura es $43.75\%$ .

Si sabemos que la bruja puede estar dispuesta a desprenderse de su poción un determinado porcentaje de las veces, podemos simplemente actualizar nuestro $P(s)$ . Dejemos que esta probabilidad de compasión se llame $P(c)$ . Entonces: $$ P(s) = 0.2 \times 1 + 0.8 \times P(c) $$ Es decir, siempre habrá una noche segura si la bruja o el jugador protegido son atacados (con posibilidad de $0.2$ ) y una noche segura con probabilidad $P(c)$ en caso contrario (con posibilidad de $1.0 - 0.2 = 0.8$ ). La actualización de nuestro $P(g|s)$ obtenemos: $$ P(g|s) = \frac{0.0875}{\left(0.2 + 0.8 \times P(c)\right)} $$ Disculpe si ha sido difícil de leer por el mal formato o si ha sido demasiado extenso. También es mi primera respuesta en este tablero de Stack Exchange :P

Answer 2

Curiosamente la clave de la solución sobre el ángel de la guarda puede atribuirse a un Ministro presbiteriano . Puede leer más sobre el tema en este Página de Wikipedia .

Para responder a esto necesitamos saber más sobre la probabilidad de que la persona sea salvada por la bruja. ¿La bruja tiene que adivinar correctamente o sabe quién es el objetivo? ¿Hay otras maneras de que no haya muertes? (los hombres lobo se apuntan unos a otros, o saben quiénes son los demás?) ¿Trabajan juntos para apuntar a una persona? o ¿podría cada uno apuntar a una persona diferente?

Una vez que conozcas las diferentes piezas, puedes introducirlas en el Teorema de Bayes para calcular la probabilidad de interés.