Monoid comutativo e inversible elementos

Question

Estoy en busca de interesantes (de origen natural?) ejemplos de conmutativa monoids con "muchas" invertible elementos y "un montón" de no invertible elementos. Una manera fácil de obtener ejemplos se utiliza el producto directo de un conmutativa monoid con no invertible elemento distinto de la identidad y de un grupo. Por ejemplo, $\mathbb{N}_0\oplus\mathbb{R}$ con las operaciones habituales. Dos preguntas:

1. Son todos conmutativa monoids isomorfo al producto directo de un conmutativa monoid con no invertible elemento distinto de la identidad y de un grupo? (Falacia de la "prueba": El conjunto de elementos es invertible un grupo y $M\equiv M/I\oplus I$.)
2. Si la pregunta 1 es verdadera, entonces probablemente no son demasiado muchos ejemplos interesantes. Si es falso, ¿cuáles son algunos ejemplos interesantes (además de un contraejemplo para la pregunta 1)?

Gracias.

Answer 1

Hay muchos conmutativa anillos que se adapte a usted para los ejemplos.

Para uno, usted puede utilizar el poder de la serie ring $R=\Bbb R[[x]]$. Un elemento de R es una unidad de la fib tiene un valor distinto de cero término constante. En segundo lugar, un monoid consta de no invertible elementos tienen que estar en el ideal generado por (x), pero este ideal no contiene idempotents, por lo que la identidad de la monoid de no invertible elementos que buscamos no puede existir.

Esto demuestra bastante simplemente que la respuesta a 1) es "no".

Inmediatamente se puede generalizar a decir que cualquier conmutativa anillo local de la multiplicativo monoid hace esto, siempre y cuando usted está satisfecho con las cardinalidades de los conjuntos de invertible y noninvertible elementos.

Answer 2

La respuesta a la pregunta 1 es NO, y la respuesta a la pregunta 2 es que hay muchos ejemplos interesantes. Dejado G sea un rango libre de torsión Abelian grupo finito, deje M sea el conjunto de clases del isomorfismo [A] de directo sumandos A de G marcas de verificación y definir una operación + en M [A] + [B] = [un $\oplus$B %].

Entonces M es un comutativo monoid con solamente un elemento inversible $[0]$ que puede tener, dependiendo de su opción de G, extrañas propiedades como

$[A] + [B] = [A] + [C]$ $[B]\ne [C]$

$[A]+[A]=[B]+[B]$ $[A]\ne [B]$.