¿Cuál es la clase mínima de ordinales cerrados bajo sucesor y los límites de las secuencias omega?

Question

¿Cuál es la clase más pequeña $S$ de ordinales que contiene $0$ cerrado bajo sucesor y los límites de omega-secuencias, es decir, $$ \forall i \in \omega [\alpha_i \in S] \Rightarrow \sup_{i} \alpha_i \in S. $$

¿Será un segmento inicial de la clase de todos los ordinales? ¿O contendrá todos los ordinales de cofinalidad $\aleph_0$ ? ¿Qué otros ordinales $S$ ¿Contiene?

Fondo : He estado leyendo el capítulo 6 de Pruebas y cálculos de Schwichtenberg y Wainer, donde explican la teoría de la recursividad generalizada en el entorno abstracto, al estilo de Scott/Plotkin. Allí dan una definición teórica de los ordinales: el tipo de los ordinales es $$ \mathbf O := \mu_\xi(\xi, \xi\rightarrow\xi, (\mathbf N\rightarrow\xi)\rightarrow\xi). $$ donde $\mathbf N$ es el tipo de naturales. Supongo que consta de tres constructores, cada uno de los cuales corresponde a cero, sucesor y límites, respectivamente, y creo que $\mathbf O$ corresponde a la clase $S$ definido anteriormente.

Answer 1

Esto nos da exactamente el conjunto de todos los ordinales contables (asumiendo el axioma de elección contable). De hecho, se puede demostrar por inducción que $S$ contiene todos los ordinales contables (todo ordinal límite contable es el sumo de todos los ordinales inferiores a él, que forman un conjunto contable). Por otra parte, cualquier sucesor de un ordinal contable es contable y cualquier límite de una colección contable de ordinales contables es contable, ya que una unión contable de conjuntos contables es contable.

Como comentó Noah, este argumento utiliza el axioma de elección contable para concluir que una unión contable de conjuntos contables es contable, y en $ZF$ es posible que $\omega_1$ sea una unión contable de conjuntos contables, por lo que $S$ contendría algunos ordinales incontables. Sin embargo, incluso en $ZF$ , $S$ será siempre un segmento inicial de los ordinales. En efecto, si $\beta$ es el ordinal menor que no está en $S$ entonces $S'$ sea el conjunto de ordinales menores que $\beta$ . Si $\alpha>\beta$ entonces $\alpha$ no puede ser el sup de ninguna colección de ordinales en $S'$ ya que $\beta$ es un límite superior más pequeño para cualquier colección de este tipo. Análogamente, $\alpha$ no puede ser el sucesor de ningún ordinal en $S'$ . Así $S'$ también se cierra bajo sus operaciones, por lo que $S'$ debe ser todo $S$ .

No sé si es coherente con $ZF$ para $S$ todos los ordinales.