Comprender un argumento geométrico en la prueba del principio del máximo fuerte para operadores elípticos en EDP de Evans

Question

Aquí está el principio máximo fuerte en Partial Differential Equations de Evans:

Aquí $U\subset\mathbb{R}^n$ es abierto y acotado. Además,

La prueba es muy corta una vez que se tiene la lema de Hopf.

Aquí está mi pregunta:

¿Alguien podría explicar la oración subrayada de por qué existe ese $y? (No tengo ninguna intuición de por qué esto debería ser cierto en absoluto).

Answer 1

Estamos asumiendo que $u$ alcanza su máximo dentro de $U$, por lo que $C$ no está vacío, y estamos asumiendo que no es constante, por lo que $V$ no está vacío. Y $V$ es abierto por la continuidad de $u$. Dado que $U$ es conexo y $U = C \cup V$, $C$ no puede ser abierto. Por lo tanto, hay un punto $z \in C$ que no es un punto interior de $C$. Dado que $z \in U$ y $U$ es abierto, podemos encontrar $r>0$ tal que $B(z,r) \subset U$. En particular, $d(z,\partial U) \ge r$. Y dado que $z$ no es un punto interior de $C, podemos encontrar $y$ con $|z-y| < r/2$ y $y \notin C$. Dado que $y \in U$ y $U=C \cup V$, debemos tener $y \in V. Y ahora tenemos $d(y,C) \le |y-z| < r/2 < d(y, \partial U)$.