Sugerencia para $\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n\frac{1}{\cos\frac{1}{i}}}$.

Question

Cómo calcular el límite siguiente: $$\lim{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\prod{i=1}^n\frac{1}{\cos\frac{1}{i}}}$ $

Gracias.

Answer 1

Sugerencia:

$$\lim_{n \to \infty} an ^{1/n} = \lim{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n},$$

y

$$\lim_{n \to \infty} \cos[1/(n+1)] = 1$$

Answer 2

Aplicar $\ln$ llegar

$$\tag 1\frac{1}{n}\left (\sum_{k=1}^{n}\ln [1/\cos (1/k)].\right)$$

$\ln [1/\cos (1/k)] \to 0$ $k\to \infty.$Por lo tanto $(1),$ que son el Cesaro medio de estos términos, también confluyen a $0.$ por lo tanto, el límite de la expresión original es $1.$