Muestran que

Question

Por favor, dame una sugerencia para la siguiente pregunta.

El Problema:
(a) Deje $D\in M_{nn}(\mathbb{R})$ ser una matriz diagonal y $T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$ ser el operador lineal asociado con $D,$ $Tx=Dx$ para todos los $x\in\mathbb{R}^{n}.$ Muestran que $$\Vert T\Vert=\max\limits_{1\leq i\leq n}\vert d_{i}\vert $$ donde $d_{1}, d_{2}, \cdots, d_{n}$ están las entradas en la diagonal de $D$. Para esta parte de la pregunta que me han demostrado que, a $\Vert T\Vert\leq\max\limits_{1\leq i\leq n}\vert d_{i}\vert $

Para esta parte de la pregunta que me han demostrado que, a $\Vert T\Vert\leq\max\limits_{1\leq i\leq n}\vert d_{i}\vert $.

(b) Supongamos $A\in M_{nn}(\mathbb{R}^{n})$ es simétrica (es decir,$A^{T}=A$) y $T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$ es el operador lineal asociado con $A$. Mostrar que $$\Vert T\Vert=\max\{ \vert \lambda\vert; \lambda\; is\; the\; eigenvalue\; of\; A\}. $$

Answer 1

Sugerencias: Para (a): Si ya han demostrado que la norma del operador de $T$ en la mayoría es la entrada diagonal máxima, sólo reconocen ahora que seguro que hay un % de vector $v \in \mathbb{R}^n$que satisface $|T v|=(max|d_i|) |v|$. Se trata de un vector de la forma $(0,0,0,1,0,0)$ $1$ en el componente con el valor propio más grande.

(B): Sabe usted que puede ser diagonalized una matriz simétrica, por lo que debe tratar de reducir esto a la declaración del (a). Escriba $A = SDS^{-1}$ $D$ una matriz diagonal.

Answer 2

Un enfoque del cociente de Rayleigh:

Suponiendo que $$|T|=\max_{x\neq 0}\frac{|Tx|_2}{|x|_2},$ y $T$ es simétrica, entonces, tenga en cuenta % $ $$R(x)=\frac{|Tx|_2^2}{|x|_2^2}=\frac{\langle Tx,Tx\rangle}{\langle x,x\rangle}=\frac{\langle T^2x,x\rangle}{\langle x,x\rangle}$que no es otra cosa que el cociente de Rayleigh de $T^2$. Por lo tanto, tenemos\begin{align} |T|^2&=\max_{x\neq 0} R(x) \ &=\max{|\tilde \lambda|\colon \tilde\lambda \text{ is an eigenvalue of }T^2}\ &=\max{|\lambda|^2\colon \lambda \text{ is an eigenvalue of }T}\ &=\max{|\lambda|\colon \lambda \text{ is an eigenvalue of }T}^2. \end{align} por supuesto, cualquier matriz diagonal es simétrica por lo que sigue a la primera parte de este argumento.