Mapas épicos en la categoría de anillos conmutativos con identidad.

Question

Aquí todos los anillos se supone que son de mentira en la categoría de $\cal C$ de anillos conmutativos con identidad, y ${\cal C} (\ R\ ,\ S\ )$ es el conjunto de todos los anillos que homomorphisms $F$ $R$ $S$que $F(1_R)=F(1_S)$. A continuación, $F\in{\mathcal C}(\ R\ ,\ S)$ induce un $R$-módulo sructure en $S$. Desde el functor $\otimes_R$ es correcto exacto, no es difícil ver que $$S\otimes_RS \cong S\cong S\otimes_SS {\mathrm{\ as \ }} R{\mathrm{-algebras}} \iff \left(S\left/{\mathrm{image}}(F)\right.\right)\otimes_RS=0.\tag{ *} $$

Intuitivamente, estas condiciones equivalentes parecen mostrar que, para $s_1,\ s_2\ \in S$, el producto $s_1 \cdot s_2\in S$ está determinado completamente por $F(R)$, y al igual que para las localizaciones, este debe mostrar que las condiciones equivalentes en $(*)$ también debe ser equivalente a la de otras aplicaciones especiales.

Mi pregunta si el siguiente: por favor, dar, por una referencia o una prueba o un contraejemplo para cada una de las dos direcciones de la siguiente conjetura: $$ S\otimes_RS\cong S \iff F \mathrm{\ is\ a\ flat\ epimorphism\ in\ the \ category \ \mathcal{C}.} $$

Answer 1

Es un teorema general que, en cualquier categoría, un mapa de $f : A \to B$ es un epimorphism si y sólo si el diagrama

$$ \begin{matrix} A &\to& B \\ \downarrow & & \downarrow \\ B &\to& B\end{matrix} $$

es un pushout plaza, donde la parte superior flechas izquierda y se $f$ y la derecha y abajo flechas son las señas de identidad.

En la categoría de anillos conmutativos, pushouts son tensor de productos. Es decir, el siguiente es un pushout plaza

$$ \begin{matrix} R &\to& S \\ \downarrow & & \downarrow \\ T &\to& S \otimes_R T\end{matrix} $$

(las flechas izquierda y son los mapas que se utilizan para inducir una $R$-módulo de estructura en $S$$T$)

Por lo tanto, $R \to S$ es epimorphic si y sólo si la multiplicación de mapa de $S \otimes_R S \to S$ es un isomorfismo.

Sospecho que el simple hecho de tener $S \cong S \otimes_R S$ no es suficiente.

Answer 2

La conjetura es verdadera La referencia es la siguiente:

Daniel Lazard: " Epimorphisme plats ", Seminaire Samuel, Algebre Commutative, tomo 2 (1967-1968), exp. no4, pp. 1-12. "Lemme 1.0" le dará lo que necesita.