No puedo pensar en un lugar de baja tecnología a prueba, en el caso de $U = [0,1]^d$ es la unidad de cubo en $\mathbb{R}^d$ $\phi : U \to \mathbb{R}^d$ $C^1$ y uno-a-uno. Básicamente, usted puede tomar ventaja del hecho de que $U$ pueden ser divididos en cubos de lado de longitud $1/N$ $N$ grandes.
Denotar $P_N(x) = \{y \in U : \|x-y\|_{\infty} \leq 1/2N\}$ donde $\|v\|_{\infty} = \max_{1 \leq i \leq d} |v_i|$ es la máxima norma de los vectores en $\mathbb{R}^d$. No es difícil mostrar lo siguiente: para cualquier $\epsilon > 0$ existe $N$ suficientemente grande tal que para cualquier $x \in U$ (vamos a suponer que la distancia de $x$ hasta el límite de $U$ $\geq 1/2N$ por simplicidad), tenemos
\begin{align}
\frac{1}{1 + \epsilon} d \phi_x P_N(x) \subset \phi(P_N(x)) \subset (1 + \epsilon) d \phi_x P_N(x).
\end{align}
Para cada una de las $N$, vamos a $S_N \subset [0,1]^d$ la obtención de los vectores de la forma $(k_1/2N, k_2/2N, \cdots, k_d/2N)$ donde $1 \leq k_i \leq 2N-1$ son impares. A continuación,$U = \cup_{x \in S_N} P_N(x)$, y (modulo de un tema que voy a tratar pronto)
\begin{align}
\frac{1}{(1 + \epsilon)^d} \frac{1}{N^d} \sum_{x \in S_N} |\det d \phi_x| \leq Vol(\phi(U)) \leq (1 + \epsilon)^d \frac{1}{N^d} \sum_{x \in S_N} |\det d \phi_x|.
\end{align}
Por último, tenga en cuenta que $\frac{1}{N^d} \sum_{x \in S_N} |\det d \phi_x|$ es una suma de Riemann, por lo tanto el límite como $N \to \infty$ es igual a $\int_U |\det d \phi_x| dx$.
El problema: hay que saber que las imágenes en $\phi$ de los lados de los cubos $P_N$ cero $d$-dimensiones de volumen. Yo creo que esto no representa un problema si se modifica la definición de la $P_N$'s así como para evitar la doble contabilización de los lados.
Ahora se puede utilizar una completamente análogo técnica para demostrar que continua $f : \phi(U) \to \mathbb{R}$,
\begin{align}
(*) ~~ \int_{\phi(U)} f (x) dx = \int_{U} (f\circ \phi) (x)\cdot |\det d \phi_x| dx.
\end{align}
Esto puede ser demostrado mediante el hecho de que para cualquier $\epsilon > 0$ existe $N$ lo suficientemente grande para que
\begin{align}
(1 + \epsilon)^{-d} |\det d \phi_x| \cdot \inf_{y \in P_N(x)} (f \circ \phi)(y) \leq \int_{\phi(P_N(x))} f(y) dy \leq (1 + \epsilon)^d |\det d \phi_x| \cdot \sup_{y \in P_N(x)} (f \circ \phi)(y),
\end{align}
y el uso de sumas de Riemann como antes.
Para completar la prueba de una clase más general de la $U$, se puede utilizar $(*)$ para concluir, suponiendo que el dominio $U$ $C^1$ diffeomorphism a $[0,1]^d$.
