El siguiente es un extracto de Pablo Cohen "el Descubrimiento de La Fuerza", pp 1091, en el que explica por qué no queremos añadir nuevos ordinales a un contable modelo transitivo $M$ cuando se extiende el uso de forzar a:
Supongamos $M$ eran de un modelo contable. Hasta ahora no hemos discutido el papel countability podría jugar. Esto significa que todos los conjuntos de $M$ son contables, aunque la enumeración de algunos de los conjuntos de $M$ no existen en $M$. El ejemplo más sencillo sería la infinidad de los números ordinales en $M$. Estos, por supuesto, son en realidad contable de los números ordinales, y por lo tanto hay un ordinal $I$, no en $M$, que es contable, y que es más grande que todos los ordinales de $M$. Desde $I$ es contable, puede ser se expresa como una relación de los números enteros y, por tanto, codificado como un conjunto de $a$ de los números enteros. Ahora bien, si por desgracia tratamos de tocar esta $a$$M$, el resultado no puede posiblemente ser un modelo de ZF. Porque si así fuera, el ordinal $I$ codificado por $I$1 tendría que aparecer en $M(a)$. Sin embargo, también hemos realizado la rigidez de la suposición de que íbamos para no añadir nuevos números ordinales. Esto es una contradicción, por lo que el $M(a)$ no ser un modelo. A partir de este ejemplo, nos enteramos de que el peligro extremo en permitiendo a los nuevos conjuntos de existir. Sin embargo, $a$ sí, es un nuevo conjunto. Entonces, ¿cómo puede satisfacemos estas dos exigencias contradictorias?
1 yo creo que esto es un error tipográfico, y él quería escribir $a$.
Lo que yo entiendo: Si $M$ es contable, entonces no puede contener todos los contables ordinales (ya que el conjunto de todos los contables de los números ordinales en sí es incontable) por lo tanto, hay al menos una contables ordinal no en $M$. Ya que es contable es un subconjunto $a$$\omega$. Si nos tocan $a$$M$, a continuación, en particular,$a \in M(a)$, por lo que hemos añadido un ordinal que antes no estaba en $M$.
Lo que no entiendo:
¿Por qué no $M(a)$ posiblemente satisfacer ZF? Si $M$ es una contables modelo de ZF y se añade un ordinal $a$ no $M$, por lo que es imposible para $M(a)$ a satisfacer ZF?
Gracias por su ayuda.
