Demostrar que para cualquier entero positivo $n$ , $A^n != I$ .

Question

Dejemos que $A$ ser un $2\times 2$ matriz con $tr(A) > 2$ . Demostrar que para cualquier entero positivo $n$ , $A^n != I$ .

Creo que debería enfocar esto con respecto a los valores propios, es decir, la suma de los valores propios de $A$ es mayor que $2$ . Sin embargo, no sé hacia dónde dirigirme. Cualquier ayuda u orientación en una dirección sería muy apreciada.

Answer 1

Primero hay que tener en cuenta que si $\lambda$ es un valor propio de $A$ entonces $\lambda^n$ es un valor propio de $A^n$ . Como ha señalado, el trazado es mayor que $2$ implica que la suma de los valores propios es mayor que $2$ , por lo que al menos un valor propio $\lambda$ de $A$ satisface $|\lambda|>1$ . Así, $A^n$ tiene un valor propio $\lambda^n$ y $|\lambda^n|=|\lambda|^n>1$ . Esto implica que $A^n\neq I$ .

Answer 2

Recordemos la ecuación característica $$ A^2-tr(A)A+I_2\det A=O_2.$$ Supongamos por contradicción que, para algunos $n\ge1$ , $A^n=I$ . Entonces $\det A=\pm1$ , $A$ es invertible con la inversa $A^{n-1}$ y $n\neq1,2$ porque $tr(A)>2$ . Así que $n\ge3$ .

Multiplica la ecuación característica por $A^{n-2}$ para conseguir $ I-tr(A)A^{n-1}+\det A\,A^{n-2}=O_2$ , $A^{n-1}(tr(A)I-\det A\,A)=I$ Es decir, $tr(A)I-\det A\,A=A$ de la que se pueden obtener varias contradicciones.

Answer 3

En primer lugar, hay que tener en cuenta que si es un valor propio de AA, entonces nn es un valor propio de AnAn. Como has señalado, que la traza sea mayor que 22 implica que la suma de los valores propios es mayor que 22, por lo que al menos un valor propio de AA satisface ||1||>1. Por tanto, AnAn tiene un valor propio nn, y |n|=|n>1|n|=|n>1. Esto implica que AnIAnI.