El ejercicio me pide esto:
¿Es allí una inyectiva función tal que $f(x^2)-f^2(x)\ge \frac{1}{4}$?
PS: $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$
Realmente no sé cómo empezar: c, agradezco sugerencias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No hay tal función inyectiva. Para solucionarlo primero vemos eso si $x^2 = x$ (que es el caso de $x=0$ y $x=1$) $f(x^2) = f(x)$ y $f(x^2) - f^2(x) \geq \frac{1}{4}$ se convierte ($x=0$ o $x=1$)
$$f(x) - f^2(x) - \frac{1}{4} = -\left(f(x)- \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0$$
pero esto sólo es posible ($-a^2 \geq 0$ implica $a=0$ ya que un cuadrado no puede ser negativo) si $f(x) = \frac{1}{2}$. Por lo tanto debemos tener $f(0) = f(1) = \frac{1}{2}$ $f$ no puede ser una inyección (ya que para una función inyectiva $f(x) = f(y)$ implica $x=y$).
