Límite de una secuencia definida por una de dos pasos no lineal de la recursividad

Question

Deje $x_0, x_1$ ser números positivos y definir $$x_{n+2}=x_{n+1}+\frac{1}{x_n + \sqrt{n}}$$

Demostrar que la secuencia de $y_n = x_n / \sqrt{n} \to 1 \\ \\ \\$.

Mi intento:

Creo que sería suficiente para considerar las desigualdades $x_n < \sqrt{n}$$x_n > \sqrt{n}$. Desde la recursividad, podríamos extraer $$x_{n+2} - x_{n+1} = \frac{1}{x_n + \sqrt{n}} > \frac{1}{2\sqrt{n}}$$ (flip the inequality in the other case) and compute $y_n$ de este. Pero el problema aquí es que no puedo encontrar el necesario límite en ambos casos.

Answer 1

De acuerdo a la forma general de la Stolz–teorema de Cesàro en los enlaces de la página de wikipedia,

$$\limsup_{n\to \infty}\frac{x_n}{\sqrt{n}}\le \limsup_{n\to \infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}=2\cdot\limsup_{n\to \infty}\sqrt{n}(x_n-x_{n-1}),\tag{1}$$ y $$\liminf_{n\to \infty}\frac{x_n}{\sqrt{n}}\ge \liminf_{n\to \infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}=2\cdot\liminf_{n\to \infty}\sqrt{n}(x_n-x_{n-1}).\tag{2}$$ Por la definición de $(x_n)$,

$$\limsup_{n\to \infty}\sqrt{n}(x_n-x_{n-1})=\limsup_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n}}{x_{n-2}+\sqrt{n-2}}=\frac{1}{\liminf\limits_{n\to \infty}\frac{x_n}{\sqrt{n}} +1},\tag{3}$$ y

$$\liminf_{n\to \infty}\sqrt{n}(x_n-x_{n-1})=\liminf_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n}}{x_{n-2}+\sqrt{n-2}}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to \infty}\frac{x_n}{\sqrt{n}} +1}.\tag{4}$$ De $(1)$ $(3)$ sabemos que $$\limsup_{n\to \infty}\frac{x_n}{\sqrt{n}}\left(\liminf_{n\to \infty}\frac{x_n}{\sqrt{n}} +1\right) \le 2,\tag{5}$$ y de $(2)$ $(4)$ sabemos que $$\liminf_{n\to \infty}\frac{x_n}{\sqrt{n}}\left(\limsup_{n\to \infty}\frac{x_n}{\sqrt{n}} +1\right) \ge 2.\tag{6}$$ Comparando $(5)$$(6)$, podemos concluir que $$\limsup_{n\to \infty}\frac{x_n}{\sqrt{n}}=\liminf_{n\to \infty}\frac{x_n}{\sqrt{n}}=1.$$