$(p^m-1) \mid (p^n-1) \Leftrightarrow m \mid n$

Question

Demostrar que $(p^m-1) \mid (p^n-1) \Leftrightarrow m \mid n$. La $\Leftarrow$ parte es aceptable, la parte de $\Rightarrow$ debe ser fácil pero estoy atrapado con él! Gracias de antemano.

Answer 1

Esto sigue del hecho de que, dado el enteros $a>b>0$, entonces $(a^n-b^n)_{n\ge 1}$ es una secuencia de divisibilidad (véase también este artículo en Arxiv).

Answer 2

Que $n=mq+r$ donde $0<r modulo="" y=""></r>

Answer 3

Estamos obligados a demostrar:

Si $p^m-1\mid p^n-1$, entonces el $m\mid n$

Podemos afirmar esto en un equivalente contrapositive

Si $m\nmid n$, entonces el $p^m-1\nmid p^n-1$

Podemos probar la segunda declaración por contradicción:

Asumir que existen enteros $m, n$ tal que $m\nmid n$, $p^m - 1 \mid p^n - 1$. ¿Cómo resultará?