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Question

Si$x+1/x = y$,$y+1/y=z$,$z+1/z=x$, entonces encuentra$x+y+z$. ¿Hay alguna manera de hacerlo sin sacar los valores de$x$,$y$,$z$?

Por favor ayuda,

Answer 1

Primero vamos a escribir las ecuaciones: $$x+\frac{1}{x}=y, \; y + \frac{1}{y}=z,\; z+\frac{1}{z}=x$$

Ahora añadimos estas ecuaciones: $$x+\frac{1}{x}+ y + \frac{1}{y}+z+\frac{1}{z}=x +y+z$$

Así que podemos ver la cancelación $x+y+z$ nos da algo, que fue nuestra motivación en la adición de ellos:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$$

Expansión, obtenemos $xy+yz+xz=0$.

Aquí, podemos constatar la identidad de $(x+y+z)^2 = x^2 +y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)$. Por lo tanto, si podemos encontrar la $x^2+y^2+z^2$, hemos terminado.

Esto se puede hacer por darse cuenta de que al multiplicar $x$ a ambos lados de $x+\frac{1}{x} = y$, nos da $x^2+1=xy$. Hacer esto con otras ecuaciones y la adición de todos ellos, tenemos:

$$x^2+1+y^2+1+z^2+1=xy+yz+xz$$

Substituing $xy+yz+xz=0$,$x^2 +y^2+z^2 = -3$. Así,

$$x+y+z=\pm\sqrt{x^2 +y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)} = \pm\sqrt{-3+2(0)} = \pm\sqrt{-3} = \pm\sqrt{3}i$$

Answer 2

Al agregar las tres ecuaciones, obtienes$\frac1x + \frac1y + \frac1z=0$ o$xy + yz + zx = 0$.

Las ecuaciones se pueden escribir también como$x^2+1 = xy, y^2+1 = yz, z^2+1 = zx$, por lo que$x^2+y^2+z^2 = -3$ que implica que no hay soluciones posibles entre los números reales.

No estoy seguro si eso califica como su respuesta ya que no quería resolver para$x, y, z$ primero ...