¿Puede considerarse la regularización dimensional como una versión suave de un atajo de Wilsonian?

Question

En el Wilsonian imagen de renormalization, una teoría cuántica de campos se define a tener grados de libertad sólo hasta una escala de la energía $\Lambda$. Los resultados de la baja energía de los experimentos no se debe cambiar como nos inferior de $\Lambda$, mientras nosotros, los cambios en los parámetros de la acción, para compensar la pérdida de la alta energía de los modos. Cuantitativamente, tenemos $$S_{\Lambda'}[\phi] = S_{\Lambda}[\phi] + \log \int_{\tilde{\phi} \in (\Lambda', \Lambda)} \mathcal{D} \phi \, e^{iS_{\Lambda}[\phi]}$$ que expresa el hecho de que la función de partición es invariante, $$\int_{\tilde{\phi} \in (0, \Lambda')} \mathcal{D}\phi\, e^{i S_{\Lambda'}[\phi]} = \int_{\tilde{\phi} \in (0, \Lambda)} \mathcal{D}\phi\, e^{i S_{\Lambda}[\phi]}.$$ Entonces tenemos dependiente de la escala acoplamientos $g(\Lambda)$.

Por otro lado, en "continuidad RG' técnicas tales como las dimensiones de la regularización, no es de alta energía de corte. En su lugar, realizamos algunos matemáticos truco para asignar finito de valores a la ilimitada integrales. A veces, pero no todo el tiempo, el truco que uso introducirá una masa arbitraria escala de $\mu$, lo que da dependientes de la escala de los acoplamientos $g(\mu)$.

Hay un montón de preguntas en este sitio acerca de cómo estos dos enfoques están relacionados con la respuesta habitual es que no hay relación alguna. Pero sospecho que los dos puntos de vista son en realidad la misma!

Considere algunas de bucle integral en una unregularized teoría, $$I = \int d^4 p\, (\text{stuff}) \sim \int_0^\infty p^3\, dp \, (\text{stuff)}.$$ En el Wilsonian imagen, la integral sería finito por un duro corte, $$I \sim \int_0^\Lambda p^3\, dp \, (\text{stuff)}.$$ En dimensiones de regularización, que en lugar de trabajar en dimensión arbitraria, dando $$I \sim \int_0^\infty p^{d-1} dp \,(\text{stuff}).$$ Entonces si tomamos $d < 4$, hay más grados de libertad con bajas energías, y menos grados de libertad con energías superiores. Si decimos que tenemos la igualdad en energía $\mu$ (y esto debe ser verdad, por análisis dimensional), luego dimensiones de regularización es solo hacer una versión más suave de la difícil Wilsonian de corte, con $\mu \sim \Lambda$!

Para aclarar, he aquí un esbozo de cómo el número de grados de libertad en algunos de los cambios de energía en cada uno de estos esquemas.

Es esta imagen válida? Son todos continuum RG métodos secreto Wilsonian? Hay referencias en las que la gente habla de estas ideas?

Answer 1

Para abordar su más amplio de la cuestión, permítanme señalar que no es necesario pensar que en Wilson QFT "una teoría cuántica de campos se define a tener grados de libertad sólo hasta una escala de la energía $\Lambda$". Usted puede imaginar que los grados de libertad que existen en todas las escalas, y no importa, siempre y cuando la energía/acción funcional sólo depende de la larga distancia escalas.

EL RESTO DE ESTA RESPUESTA ES ENGAÑOSA. A ver que Hace la medida angular de la materia en dimensiones de regularización?

A su más estrecho pregunta: Sí, usted puede pensar de regularización dimensional como una versión más suave de la velocidad de corte. (Me gusta esta perspectiva ya no es necesario pensar en dimensiones de regularización como el hecho de interpolación de espacios de diferentes dimensiones. Usted puede conseguir lejos con esto en circunstancias limitadas, pero en general, es algo confuso. Spinor representaciones, por ejemplo, realmente no se adaptan bien a fracciones de las dimensiones).

El punto principal de regularización dimensional es que usted puede examinar las singularidades de impulso de las integrales por sustitución de la habitual impulso de medida $d^np$$\big(\frac{\mu}{|p|}\big)^{\epsilon} d^np$. Esta es una medida de las funciones en $\mathbb{R}^n$, pero el exceso de poder de $|p|$ en el denominador reprimir el impulso de alta modos en comparación con el bajo impulso de los modos. Entonces imponer renormalization condiciones, y quitar la corte mediante el envío de $\epsilon \to 0$.

Nota: Esta no es la definición de libro de dimensiones de regularización porque yo no he molestado a analíticamente continuar con la medida angular. Por ejemplo, en el 'libro de texto' dimensiones de regularización, se encuentra $$\int \frac{d^{4-\epsilon}k}{(2\pi)^4} \frac{1}{(k^2 + \Delta)^2} = \frac{1}{(4\pi)^2} \big(\frac{2}{\epsilon} - \log(\Delta) + \gamma + \log(4\pi) + O(\epsilon)\big).$$ En la variante estoy usando aquí, $$\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{(\mu/|k|)^{\epsilon}}{(k^2 + \Delta)^2} = \frac{1}{(4\pi)^2} \big(\frac{2}{\epsilon} + \log(\frac{\mu^2}{\Delta}) + O(\epsilon)\big).$$

Creo que eso no hace ninguna diferencia significativa. La medida angular de la $\epsilon$-dependencia crea algunos de los términos constantes en $\epsilon$, pero no cambia la dependencia de la integral externa del momenta. Pero como se puede ver, se hace el cambio de las expresiones que aparecen en etapas intermedias, antes de imponer renormalization condiciones.

Answer 2

No tengo una respuesta precisa, pero creo que la forma de pensar de la gente acerca de la relación ha cambiado a lo largo del tiempo y entre los subcampos. En la física de materia condensada, todo el mundo fue siempre consciente de que el campo de la teoría de la imagen se descompone en la escala atómica, por lo que sus predicciones se vuelven inútiles en lo suficientemente altas energías (que en realidad son experimentalmente accesible). Así CM siempre se ha pensado acerca de la RG en el Wilsonian de corte de sentido (incluso antes de que Wilson mismo en realidad formalizado el concepto) como lo que realmente sucede "detrás de las escenas", incluso cuando se utiliza dim reg como una práctica de cálculo de acceso directo.

Por otro lado, hace décadas, antes de que alguien realmente preocupado acerca de la gravedad cuántica, se creía que la alta energía QFTs, en principio, podría dar una exacta descripción de la física en todas las escalas de energía, por lo que el alto de la energía de los físicos realmente no se como usar el corte de la conceptualización de "fundamental" teorías como el SM - parece rebuscada y artificial, ya que no se conoce ninguna naturales de valor para la frecuencia de corte. (Supongo que eran más bien explícita eficaz campo de las teorías como la de Fermi desintegración beta de la teoría, donde hay una natural cutuff.) Así que preferían la dim reg enfoque, como es matemáticamente sombra y físicamente misterioso, pero al menos no invoca una explícita de corte.

Yo pienso que las dos escuelas de pensamiento han sido de gran estrechado en las últimas décadas, debido a que (a) Wilson hecho grandes progresos en la creación de la ya nebuloso concepto de una energía de corte mucho más preciso y riguroso, y (b) la gente empezó a tomar de la gravedad cuántica en serio, y aceptar que la SM será, sin duda romper hacia abajo en la escala de Planck (si no mucho antes). Así que ahora la gente en ambos campos tienden a pensar de QFTs como ser de larga longitud de onda efectiva de las teorías con desconocidos "microscopics", y que los dos regularización formalismos probablemente son completamente equivalentes (aunque no creo que nadie lo ha demostrado con rigor). Pero como un vestigio histórico de antes de esta "síntesis", de alta energía, los físicos tienden a presentar los dos formalismos por separado y no se enfoque en sus vínculos conceptuales -, porque eso es lo que aprendieron de ellos mismos.

De todos modos, lamento en realidad no responder a su pregunta real.

Answer 3

Incluso la alta energía que los físicos están interesados en efectivo ("Wilsonian") de baja energía teorías, como algunos cálculos (por ejemplo, enlazados a los estados) son mucho más fáciles de efectivo de las teorías.

Pero prefieren dimensiones de regularización ya que es el más sencillo esquema que conserva de Lorentz y el indicador de simetrías sin que uno es fácilmente desviados en las conclusiones.

Echa un vistazo por ejemplo, en esta revisión por Georgi