Justo estoy haciendo una investigación relativa a la aproximación de saddlepoint y antes que profundizó a profundo en realidad aplicando el método de aproximación, era solo curiosidad de por qué se llama en realidad una aproximación saddlepoint . Sé que un saddlepoint en cálculo es un punto que puede ser un máximo o un mínimo dependiendo de la dirección que usted está buscando en el gráfico, pero yo no estaba seguro cómo esto tenía algo que ver con la técnica. ¡Gracias!
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Vlad
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Como usted probablemente sabe, el saddlepoint método (también conocido como o fase estacionaria método o método de steepest descent) se utiliza para calcular las integrales de la forma
$$ I = \int_{\gamma} f\left(z\right) e^{\lambda g\left(z\right)}dz, \qquad z \in \mathbb C, \qquad 0 \ll \lambda \in \mathbb R%, \qquad \gamma \quad \text{ es un contorno }. $$
más de un contorno $\gamma$ en el plano complejo, donde ambos se $f$ $g$ son funciones analíticas. Es esencialmente el mismo que el método de Laplace , pero modificado para tomar integrales sobre plano complejo.
La idea de este método es deformar el contorno de $\gamma$ en un camino que pasa a través de un punto de silla de $z_0$ de la función $g(z)$, por lo que en este punto la función $g$ tiene un máximo si se mueve a lo largo de la dirección de más pronunciada a descender. Recordar que las funciones analíticas que no tienen los mínimos o máximos, pero sólo de una silla de puntos en el dominio de analiticidad, y que el valor de una integral de contorno de una función analítica no cambia si se deforma el contorno de forma continua. Desde real constante $\lambda\gg 0$ se supone que para ser grande, se determina el rango de magnitud de las integrando en las inmediaciones de la silla de punto de $z_0$. Por lo tanto, deformando $C$, de manera que pasa a través de la $z_0$ en la dirección de más brusco descenso, se puede asegurar que el integrando va a estar disminuyendo en magnitud casi tan rápidamente como sea posible.
Para resumir, la razón por la que se llama "punto de silla método" es debido a la búsqueda de puntos de silla es el paso crucial en el algoritmo:
Escribir integral en la forma $\displaystyle\qquad I\left(\lambda\right) = \int_{\gamma}f\left(z\right)e^{\lambda g\left(z\right)}dz$.
Dado que el exponente determina el comportamiento de $\,I(\lambda)$ $\lambda\to\infty,\,$ investigar $g(z)$ en un modo siguiente:
- encontrar el punto de silla(s) de $g \iff$ encontrar todos los puntos donde $g'(z)=0$ (desde $g$ es analítica)
- construcción de caminos de steepest descent
Deformar $\gamma$ para que coincida con la ruta de steepest descent.
Obtener asymptotical aproximación de la integral de la $I(\lambda)$ utilizando el Método de Laplace.
