Estoy leyendo la demostración de Rudin del teorema del cambio de variable (teorema 10.9 en baby rudin). $$\int_{R^k}{f(y)dy}=\int_{R^k}{f(T(\mathbf{x}))\left\lvert J_T(\mathbf{x})\right\rvert d\mathbf{x}}$$ Me cuesta entender cómo demuestra que el teorema del cambio de variable se cumple en el caso de que la transformación entre coordenadas sea un mapeo primitivo C'. Parece que la idea es que en el caso del mapeo primitivo, esto es más o menos equivalente a la regla de sustitución de una sola variable ya probada. Afirma que $$\int_{R^1}{f(y)dy}=\int_{R^1}{f(T(x))T'(x) dx}$$ es verdadera cuando $T(x)$ es creciente, como un caso de la regla de sustitución de una sola variable, pero que el valor absoluto de $T'(x)$ es necesario para que la relación se mantenga si $T(x)$ es decreciente. Esto me parece una contradicción, porque es bien sabido que la regla de sustitución de una variable no depende de que T(x) sea creciente, y esta inclusión del valor absoluto cambia ese teorema del cálculo 1. Creo que esto tiene que ver con el hecho de que la integral es sobre $R^1$ y la forma en que ha definido la integral en este capítulo como una integral sobre cualquier celda k que contenga el soporte compacto de f. Si alguien puede ayudarme más que esté familiarizado con esta demostración, se lo agradecería mucho.
Respuesta
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Toma $\int_{\bf R^1} f(y)\operatorname{d}y$ y sustituir utilizando cualquier función suryectiva estrictamente decreciente; por ejemplo: $y=-x$
$$\begin{align} \int_{\bf R^1} f(y)\operatorname{d}y & = \int_{-\infty}^{+\infty} f(y)\operatorname{d}y \\[1ex] & = \int_{+\infty}^{-\infty} f(-x)\cdot(-1)\operatorname{d}x & \text{note the change of limits} \\[1ex] & = \int_{-\infty}^{+\infty} f(-x)\operatorname{d}x & \text{since: } -\int_a^b F(x) \operatorname{d}x = \int_b^a F(x)\operatorname{d}x \\[2ex] & = \int_{\bf R^1} f(-x) \,\left|\frac{\operatorname{d}(-x)}{\operatorname{d}x}\right|\,\operatorname{d} x \end{align}$$ Esto es válido para cualquier sustitución que sea surjective y la integración es sobre el dominio de la integración.
Si tal $y=T(x)$ es estrictamente decreciente entonces por definición: la derivada será negativa y el dominio $x$ se ejecutará en la dirección opuesta. Por tanto, el uso del absoluto de la derivada garantiza que el dirección de la integración sigue siendo el mismo.
$$\int_{\bf R^1} f(y)\operatorname{d}y = \int_{\bf R^1} f(T(x)) \,|T'(x)|\,\operatorname{d}x$$
