¿Por qué el escalar de Ricci es distinto de cero en este caso?

Question

Las ecuaciones de Einstein pueden escribirse como (1): $$R_{ab}-\frac{1}{2}Rg_{ab} = -8\pi GT_{ab}$$

o contrayendo la ecuación anterior con el tensor métrico y resustituyendo: (2) $$R_{ab}=8\pi G(\frac{1}{2}Tg_{ab}-T_{ab}).$$

En el vacío, la ecuación (1) se reduce a $R_{ab}-\frac{1}{2}Rg_{ab}=0$ y la ecuación (2) se reduce a $R_{ab}=0$ lo que implica que en el vacío, $R=0$ .

Sin embargo, si calculo explícitamente $R$ para una onda plana de la forma $$h_{ab} = A_{ab}\exp(ikx)$$ (la métrica de Minkowski $\eta_{ab}$ perturbado por $h_{ab}$ ), obtengo: $$R=k^ak^bh_{ab}-k^\lambda k_\lambda h\ \ ,$$ donde $h=\eta_{ab}h^{ab}$ que parece una especie de ecuación de onda, pero es distinta de cero. Se supone que es $0$ pero no lo es. ¿Por qué?

Answer 1

Las ondas gravitacionales son transversales y viajan a lo largo de rayos nulos. Por lo tanto, hay que tener $k^{a} h_{ab} = 0$ y $k^a k_a = 0$ . (Más exactamente, la condición de transversalidad puede verse como una condición gauge: siempre podemos aplicar un difeomorfismo local tal que esta primera condición sea cierta). Bajo estas condiciones, el escalar de Ricci desaparece, al igual que el tensor de Ricci, si se ha hecho todo correctamente. Pero una métrica ondulatoria completamente arbitraria con una polarización arbitraria $h_{ab}$ y el vector de propagación $k_a$ no satisfará, como has comprobado, la ecuación de Einstein en el vacío.