¿Consiste esta secuencia de cuadrados de números enteros?

Question

Pregunta:

que secuencia ${x_{n}}$ tal %#% $ #%

y tal %#% $ #%

¿muestran que: $$x{0}=0,x{1}=1,x{2}=0,x{3}=1$ son todos los números cuadrados?

Mi idea: tengo %#% $ #% % $ $$x{n+3}=\dfrac{(n^2+n+1)(n+1)}{n}x{n+2}+(n^2+n+1)x{n+1}-\dfrac{n+1}{n}x{n}$y así sucesivamente, pero todas $ x_{n}$, y ¿cómo probarlo?

Gracias

Answer 1

De hecho, $x_{n+1}=a_n^2$ donde $\{a_n\}$ están determinados por la relación de recurrencia $$a_{n+1}=n a_n+a_{n-1}$$ con las condiciones iniciales $a_0=1$, $a_1=0$. Esto puede ser exprerimentally descubierto el uso de la enciclopedia en línea de secuencias de enterosy, a continuación, la prueba puede ser realizada fácilmente por inducción.

Prueba: La única que no sea trivial paso de inducción: \begin{align} x_{n+3}=\frac{(n^2+n+1)(n+1)}{n}a_{n+1}^2+(n^2+n+1)a_{n}^2-\frac{n+1}{n}a_{n-1}^2=\ldots=a_{n+2}^2, \end{align} donde los puntos indican que expresan $a_n$ $a_{n-1}$ en términos de $a_{n+2}$ y $a_{n+1}$. $\quad \blacksquare$