Centro de una cuádrica

Question

Me encontré con la siguiente frase en mi lineales álgebra lineal libro (afín y proyectiva geometría): $Q:V \to \mathbb{K}$ es un quadric (función cuadrática) y $\alpha\in Aff(V)$. $Aff(V)$ es el conjunto de todos los affin y invertible funciones de $\alpha$.

El conjunto de todos los centros de $Q\circ\alpha$ es bijective en el conjunto de todos los centros de $Q$.

No hay ninguna prueba de lo que traté de probarlo, pero no tengo muchas ideas. He formulado la declaración un poco diferente; necesito mostrar que $\sigma_{\alpha(m)}=\alpha\circ\sigma_m\circ\alpha^{-1}$ donde $\sigma_m$ describe una reflexión sobre la $m\in V$.

Answer 1

Por lo tanto, tenemos una cónica $\mathcal{C} = \begin{pmatrix} c & B^{t} \ B & A\end{pmatrix}$ y $v$, cual es el centro de $\mathcal{C}$. También consideramos $\varphi: V \rightarrow V $ afinidad; $M(\varphi)=\begin{pmatrix} 1 & S \ 0 & D^{-1}\end{pmatrix}$

Lo que queremos demostrar es que $\varphi(v)$ es el centro de $\varphi(\mathcal{C})$.

Supondré que usted sabe que: $v$ es el centro de $\mathcal{C} \Leftrightarrow AX= -B$, pedir una prueba.

Ahora que ' hora de la prueba real:

$\tilde{\mathcal{C}}=M(\varphi)^{t} \space \mathcal{C} \space M(\varphi)=\begin{pmatrix} c+S^{t}B+B^{t}S+S^tAD^{-1} & B^tD^{-1}+S^tAD^{-1} \ (D^{-1})^tB+(D^{-1})^tAS & (D^{-1})^tAD^{-1}\end{pmatrix}$.

Llamemos a $\varphi(X)=\tilde{X}$.

$D^{-1}\tilde{X}+S=X \rightarrow \tilde{A}\tilde{X}=\tilde{-B}$ (que es la reclamación). $\tilde{A}\tilde{X}=\tilde{-B} \Leftrightarrow (D^{-1})^tAD^{-1}(D(X-S))= -(D^{-1})^tB+(D^{-1})^tAS \Leftrightarrow (D^{-1})^t(AX-AS) = -(D^{-1})^t(-AX)+(D^{-1})^tAS \Leftrightarrow AX-AS=AX-AS $.