Las líneas en el espacio proyectivo

Question

Me tienen las siguientes definiciones:

Dado un espacio vectorial $V$ sobre un campo $k$, podemos definir el espacio proyectivo $\mathbb P V = (V \backslash \{0\}) / \sim $ donde $\sim$ identifica todos los puntos que se encuentran en la misma línea que pasa por el origen.

Un subespacio proyectivo $\mathbb P W$ $\mathbb P V$ es de la forma $\pi(W \backslash \{0\})$ donde $\pi$ es el residuo de la clase mapa y $W$ es un subespacio vectorial de $V$. Definir $\mathrm{dim} (\mathbb P V) = \mathrm{dim}( V )- 1$. Una línea en $\mathbb P V$ $1$- dimensiones proyectivas subespacio.

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Ahora me estoy dando cuenta que es difícil imaginar lo que una línea en el espacio proyectivo es en realidad. Puedo entender por qué cualquiera de las dos líneas en un plano proyectivo se cruzan. Supongamos que estoy en $\mathbb P^3$ y se desea escribir un 'ecuación' para la línea que pasa por los puntos a$ p = (1:0:0:0)$$q = (a:b:c:d)$. ¿Cómo podría hacer eso? ¿Mi pregunta sentido? Estoy preocupada porque la $\mathbb P V$ no es en realidad un espacio vectorial, por lo que puedo pensar en puntos del interior como los vectores?

Gracias

Answer 1

Si usted tiene dos puntos distintos $A=[a_0:\ldots :a_n], B=[b_0:\ldots:b_n]\in \mathbb P^n$, que corresponden a dos vectores $a=(a_0,\ldots ,a_n), b= (b_0,\ldots,b_n)\in k^{n+1}$.
Estos vectores lapso de un avión $\Lambda \subset k^{n+1}$ cuyos vectores son las $ua+vb, \; (u,v\in k)$.
La línea correspondiente a $\overline {AB}=\mathbb P(\Lambda)\subset \mathbb P^n$ tiene sus puntos de la forma $[ua_0+vb_0:\ldots :ua_n+vb_n] \quad (u,v \in k, $ no ambos cero ).

En el caso particular de la línea proyectiva $\overline {pq}$ unirse a $p=[1:0:0:0]$ $q=[a:b:c:d]$ tiene puntos con coordenadas $[u+va:vb:vc:vd]$

Answer 2

Cada subespacio lineal en $V$ es la intersección de hyperplanes. La proyección de abajo a $\Bbb P(V)$ usted obtener que cada subespacio lineal en $\Bbb P(V)$ es la intersección de hyperplanes.

Si $\dim V=4$, es decir,$\dim\Bbb P(V)=3$, una línea de $\ell\subseteq\Bbb P(V)$ corresponde a un $2$-dimensiones subespacio $U\subset V$ que puede ser obtenido como intesection de dos $3$-dimensiones de los subespacios, $U=W_1\cap W_2$, obviamente no se determina únicamente. Por lo tanto $\ell=\pi(W_1)\cap\pi(W_2)$.

Si $\ell$ es dado como la línea a través de dos puntos de $A$ $B$ siempre se puede encontrar algo de $W_1$ $W_2$ por encima sabiendo que un hyperplane en $V$ tiene por ecuación $$ a_1X_1+a_2X_2+a_3X_3+a_4X_4=0\qquad\qquad(\ast) $$ y la imposición de que las coordenadas de a $A$ $B$ satisfacer esta ecuación. Usted obtener así un sistema lineal homogéneo de dos ecuaciones con 4 variables (los coeficientes de $(\star)$), los cuales sin duda se puede resolver.