Cómo calcular $\int_{0}^{1}x\sin (bx) J_0\!\!\left(a\sqrt{1-x^2}\right)\!\mathrm dx$ ?

Question

Necesito una ayuda con la integral de abajo,

$$\int_{0}^{1}x\sin (bx) J_0\left(a\sqrt{1-x^2}\right)\,\mathrm dx$$

donde $a \geq 0$ y $b$ son constantes y $J_0(x)$ es el orden zerótico de la función de Bessel del primer tipo.

Esta integral tiene una solución de forma cerrada ?

He encontrado algunas integrales similares a la integral de arriba, pero no tengo ni idea de cómo aplicarla.

Encontré esta expresión integral a continuación en el libro de Gradshteyn y Ryzhik 7ª edición, sección 6.677, número 6:

$$\int_{0}^{a} \cos (cx)J_0\left(b\sqrt{a^2-x^2}\right)\,\mathrm dx = \frac{\sin (a\sqrt{b^2+c^2})}{\sqrt{b^2+c^2}} \quad [b\geq 0]$$

Intento utilizar la definición de orden zerótico de la función de Bessel del primer tipo para resolver esta integral:

$$J_0(z) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{(\frac{1}{4}z^2)^k}{(k!)^2}$$

entonces encontré:

$$J_0(a) \sum_{k=0}^\infty \int_{0}^{1}x\sin (bx)\left(1-x^2\right)^k\,\mathrm dx $$

En Wolfram Alpha encontré eso:

$$\int_{0}^{1}x\sin (bx)\left(1-x^2\right)^k\,\mathrm dx = \frac{1}{4}\sqrt{\pi}a\Gamma (k+1)\tilde{F}_1\Big(;k+\frac{5}{2};-\frac{a^2}{4}\Big)$$

donde $\tilde{F}_1$ es el Función hipergeométrica regularizada , donde:

$$\tilde{F}_1\Big(;k+\frac{5}{2};-\frac{a^2}{4}\Big) = \frac{J_{k+\frac{3}{2}}(a) }{(\frac{a}{2})^{k+\frac{3}{2}}}$$

por lo tanto:

$$\int_{0}^{1}x\sin (bx) J_0\left(a\sqrt{1-x^2}\right)\,\mathrm dx = J_0(a)\frac{1}{4}\sqrt{\pi}a \sum_{k=0}^\infty \Gamma (k+1) J_{k+\frac{3}{2}}(a)\Big(\frac{a}{2}\Big)^{-(k+\frac{3}{2})} $$

¿La solución encontrada arriba es correcta?

Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia del usuario cansado :

Expresión integral abajo en el libro de Gradshteyn y Ryzhik 7ª edición, sección 6.677, número 6:

$$\int_0^1 \cos (b x) J_0\left(a \sqrt{1-x^2}\right) \, dx=\frac{\sin \left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Diferenciar para la variable b :

$$\int_0^1 \frac{\partial \left(\cos (b x) J_0\left(a \sqrt{1-x^2}\right)\right)}{\partial b} \, dx=\frac{\partial }{\partial b}\frac{\sin \left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ $$\color{blue}{\int_0^1 x \sin (b x) J_0\left(a \sqrt{1-x^2}\right) \, dx=-\frac{b \cos \left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}{a^2+b^2}+\frac{b \sin \left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}{\left(a^2+b^2\right)^{3/2}}}$$