¿Cómo puedo recuperar una secuencia de números dada una versión corrupta de la misma?

Question

Tengo una secuencia desconocida de números reales $x_i$ y una secuencia conocida de números reales $y_i$ ; $y_i$ es una versión corrupta de $x_i$ es decir,

$$y_i=x_i+n_i$$

donde $n_i$ es un número aleatorio distribuido según una función de distribución de probabilidad conocida $f(x,\boldsymbol{\theta})$ , $\boldsymbol{\theta}$ es conocido y es el conjunto de los parámetros de la distribución; por ejemplo cuando $f$ es una distribución normal $\boldsymbol{\theta}=(\mu,\sigma)$ , $\mu$ es la media y $\sigma$ es la desviación típica.

Dado $y_i$ , $f$ , $\boldsymbol{\theta}$ ¿es posible recuperar $x_i$ ?

Actualización:

Dado que el problema parece demasiado amplio (véanse los comentarios 1 y 2 ) Me gustaría añadir la restricción de que $x_i>x_{i+1},\forall{i}$ .

Answer 1

¿Cómo puede ser?

Si no hay restricciones en el $x_i$ todo lo que sabes son intervalos de confianza del $x_i$ alrededor de sus respectivos $y_i$ . Pero los valores exactos de los $x_i$ siguen siendo esencialmente desconocidos.

Por ejemplo, con $n$ distribuidos uniformemente en $[-1,1]$ y $Y=\{0.5,3\}$ se puede decir que

• $x_0\in[-0.5,1.5]$ y $x_1\in[2,4]$ con probabilidad $1$ .

• $x_0\in[0.4,0.6]$ y $x_1\in[2.9,3.1]$ con probabilidad $\frac1{100}$ .

• ...

La adición de la restricción de monotonicidad modificará algo la amplitud de los intervalos de confianza, pero la $x_i$ siguen siendo igual de escurridizos.

Answer 2

Supongamos que $x = n$ ( $n$ siendo desconocido). Sin más suposiciones, no hay forma de saber si $y$ es $0.5n+0.5n$ o $0.7n+0.3n$ . Sin embargo, todo un campo se ocupa de producir estimaciones aceptables de $y$ dado un conocimiento parcial de las propiedades de $x$ o $n$ .

Se denomina tratamiento de señales (o imágenes) (subcampos: filtrado, suavizado, separación de fuentes). Como el tema es demasiado amplio para responder aquí, dejo caer algunas tendencias actuales: Modelización bayesiana , estimación no lineal del riesgo , aproximaciones dispersas .

Para más información, consulte StackExchange Procesamiento de señales: SE.DSP . Una pregunta relacionada se plantea y se responde en ¿Los datos de las series temporales siempre contienen ruido?