Resolver la ecuación funcional $ f (f (f (x))) + f (x) = 2x$

Question

Por favor ayúdenme a resolver esta ecuación funcional: encontrar $f(x)$ dado que $$f(f(f(x)))+f(x)=2x$$

Muchas gracias.

Answer 1

En realidad, hay bastantes de estos.

Escoge $z, w \in \mathbb{C}$ como raíces de $X^2 + X + 2$. Entonces $z^3 + z = 2$, y lo mismo para $w$, como puedes comprobar. Sea $a_n = z^n + w^n + i \pi(z^n - w^n)$ para $n \in \mathbb{Z}$ ($i$ es la unidad imaginaria, y $\pi$ es el usual $3.14\dots$; el punto es, es trascendental). Estos son números reales, y obedecen la relación $a_{n+3}+a_{n+1} = a_n$. Además, puedes verificar que $a_n \neq a_m$ a menos que $n = m$.

Define la función $f(x)$ estableciendo $f(a_n) = a_{n+1}$, y $f(x) = x$ si $x \neq a_n$ para todo $n$. Esta función cumple con la ecuación. Puedes encontrar muchas (incontables) otras soluciones de manera similar.

Answer 2

La próxima vez solo etiqueta como precálculo o álgebra. O si no, la gente te dará una respuesta a nivel de análisis funcional.

Supongo que $\exists a \in \mathbb{R}$ tal que $f(x) = ax$.

Sustituyendo, tenemos

$a^3x + ax = 2x$

$\to a^3 + a = 2$

$\to a=1$

Entonces, $f(x)=x$ es una solución y es la solución para funciones que se ven como $f(x) = ax$

En cuanto a funciones que no se ven como $f(x)=ax$, ugh...

Bueno, está $f(x) = ax + b$ ($b \in \mathbb{R}$). Puedes sustituir para obtener

$a^3x + a^2b + ab + b + ax + b = 2x$

$\to a^3x + ax = 2x$ y $a^2b + ab + 2b = 0$

$\to a = 1$ y $a^2b + ab + 2b = 0$

$\to a^2b + ab + 2b = 0$

$\to (a^2+a+2)(b) = 0$

$\to (a^2+a+2) = 0$ o $(b) = 0$

$(b) = 0$

Así que sigue siendo $f(x) = x$.

Si quieres, puedes probar un polinomio general: $f(x) = a_0 + a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n$.

Answer 3

Cuando a uno se le da una ecuación funcional como esta sin ninguna calificación del dominio y la naturaleza de la función $f$. Las suposiciones típicas son

• el dominio es ya sea $\mathbb{R}$, $[0, \infty)$ o $(0, \infty)$.
• $f$ es ya sea una función arbitraria, una función continua o un polinomio.

Dado que este es un problema de secundaria, la suposición más probable es que $f$ sea un polinomio o una función continua sobre $\mathbb{R}$. Mostraré que

Cuando restringimos $f$ a ser una función continua sobre $\mathbb{R}$,
la única solución es $f(x) = id(x) = x$.

Sea $g(x) = f(f(x)) + x$. Dado que $(g \circ f)(x) = 2 x$ y el RHS es inyectivo, $f$ es inyectivo. Bajo la suposición adicional de que $f$ es continua, $f$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

Si $f$ es estrictamente decreciente, entonces $f\circ f$ será estrictamente creciente y $f\circ f\circ f$ será estrictamente decreciente. Esto lleva a una contradicción de que $2x = f(x) + (f\circ f\circ f)(x)$ es estrictamente decreciente. Esto significa que $f$ es estrictamente creciente.

Dado cualquier $x \in \mathbb{R}$. Si $f(x) > x$, entonces la estricta creciente de $f$ implica

$$f(f(x)) > f(x) > x \implies f(f(f(x))) > f(f(x)) > x \implies f(x) + f(f(f(x))) > 2x$$

De manera similar, si $f(x) < x$, entonces $$f(f(x)) < f(x) < x \implies f(f(f(x))) < f(f(x)) < x \implies f(x) + f(f(f(x))) < 2x$$

En ambos casos, la ecuación funcional no se puede satisfacer. Esto nos deja con la única posibilidad $f(x) = x$. Dado que $x$ es arbitrario, la única solución continua para la ecuación funcional en todo $\mathbb{R}$ es $f(x) = id(x) = x$.