Deje $I$ ser un delimitada por debajo de complejo de injectives en algunos Abelian categoría, y $Z$ cualquier delimitada por debajo de complejo. Supongamos $u:I\to Z$ es un cuasi isomorfismo. Queremos pruebas de que $u$ se divide inyectiva hasta homotopy. La prueba descritos en Weibel del libro Una Introducción al Álgebra Homológica (pdf) es el siguiente:
El complejo de $\operatorname{cone}(u)$ es exacta, donde $$ \operatorname{cono}(u)^i=e^{i+1}\oplus Z^i, $$ y el diferencial está dada por $$ D=\begin{pmatrix}-d & 0 \\ -u & d\end{pmatrix}. $$ El mapa de $\phi:\operatorname{cone}(u)\to I[1]: (y,z)\mapsto -y$ es de la cadena de mapa, y se puede demostrar, usando el hecho de que $I$ consiste inyectiva objetos, y $\operatorname{cone}(u)$ es exacto, que el $\phi$ es nullhomotopic, es decir, $$\phi = fD+df$$ para algunos $\{f^i\}$, donde $$f^i:I^{i+1}\oplus Z^i\to I^i.$$ entonces podemos escribir $f^i=(v^i,s^i)$ donde$v^i:I^{i+1}\to I^i$$s^i:Z^i\to I^i$.
Entonces tenemos: \begin{align*} -y=\phi(y,z)&=fD(y,z)+df(y,z)\\ &=f(-dy,-uy+dz)+d(vy+sz)\\ &=-vdy-suy+sdz+dvy+dsz\\ &=-suy+(dvy-vdy)+(sdz+dsz). \end{align*} Por otro lado, Weibel afirmaciones en su prueba (después de la corrección de un error tipográfico según la fe de erratas) que $$y=(kdy+suy+dky)+(dsz-sdz).$$ Obviamente este no es el mismo, y mi respuesta da lugar a una prueba del lema, así que debo estar haciendo algo mal, pero no acabo de ver.
