Si $G = \langle A, N \rangle$..., muestran que el $Z(G)$ tiene index finito.

Question

¡Tratando de resolver el siguiente problema en la preparación de pre-lims! ¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Que $G$ ser un grupo. Asumir que $G$ es generado por dos subgrupos, $N$ y $A$, que $A$ es abeliano y $N$ es finito y normal en $G$. Demostrar que el centro $Z(G)$ index finito en $G$.

Observamos que si $G$ es finito o abeliano, el resultado se cae fácilmente. Estamos atascados en el caso infinito, no abeliano.

Answer 1

$N$ finito implica que $|G:C_G(N)|$ es finito. También $G=AN \Rightarrow |G:A|$ finitos. Así $|G:C_A(N)|$ es finito y $C_A(N) \le Z(G)$.