La pregunta:
Supongamos que X1,X2X1,X2 son variables aleatorias idénticamente distribuidas con una distribución normal estándar común. Encuentra la función de densidad conjunta de Y1=X21+X22Y1=X21+X22 y Y2=X2Y2=X2 y la función de densidad marginal de Y1Y1. Pista: Ten en cuenta que el espacio de Y1Y1 y Y2Y2 está dado por −√y1<y2<√y1−√y1<y2<√y1, 0<y1<∞0<y1<∞.
Mi intento:
X21∼χ2(1)X21∼χ2(1) y X22∼χ2(1)X22∼χ2(1), por lo que Y1∼χ2(2)Y1∼χ2(2). La función de densidad de Y1Y1 debería ser 12e−y212e−y2. Intenté obtener el resultado utilizando las transformaciones de variables aleatorias.
Si 0<y2<√y10<y2<√y1, entonces x1=√y1−y22x1=√y1−y22.
Si −√y1<y2<0−√y1<y2<0, entonces x1=−√y1−y22x1=−√y1−y22
En ambos casos, el valor absoluto del jacobiano es 12√y1−y2212√y1−y22.
Entonces, fY1,Y2(y1,y2)=fX1,X2(x1,x2)|J|fY1,Y2(y1,y2)=fX1,X2(x1,x2)|J|, donde |J||J| es 12√y1−y2212√y1−y22.
fX1,X2(x1,x2)=12πe−y12fX1,X2(x1,x2)=12πe−y12 (multiplicación de dos funciones de densidad normales estándar)
fY1,Y2(y1,y2)=fX1,X2(x1,x2)|J|=12πe−y1212√y1−y22fY1,Y2(y1,y2)=fX1,X2(x1,x2)|J|=12πe−y1212√y1−y22
fY1(y1)=e−y1/24π∫√y1−√y11√y1−y22dy2fY1(y1)=e−y1/24π∫√y1−√y11√y1−y22dy2.
Utilicé esta integral: ∫a−a1√a2−x2=π∫a−a1√a2−x2=π para a>0a>0.
Luego fY1(y1)=e−y1/24fY1(y1)=e−y1/24, lo cual no es igual a e−y1/22e−y1/22.
No logro identificar dónde está el error. Necesito ayuda.