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Encontrar la distribución de probabilidad usando transformaciones

La pregunta:

Supongamos que X1,X2 son variables aleatorias idénticamente distribuidas con una distribución normal estándar común. Encuentra la función de densidad conjunta de Y1=X21+X22 y Y2=X2 y la función de densidad marginal de Y1. Pista: Ten en cuenta que el espacio de Y1 y Y2 está dado por y1<y2<y1, 0<y1<.

Mi intento:

X21χ2(1) y X22χ2(1), por lo que Y1χ2(2). La función de densidad de Y1 debería ser 12ey2. Intenté obtener el resultado utilizando las transformaciones de variables aleatorias.

Si 0<y2<y1, entonces x1=y1y22.

Si y1<y2<0, entonces x1=y1y22

En ambos casos, el valor absoluto del jacobiano es 12y1y22.

Entonces, fY1,Y2(y1,y2)=fX1,X2(x1,x2)|J|, donde |J| es 12y1y22.

fX1,X2(x1,x2)=12πey12 (multiplicación de dos funciones de densidad normales estándar)

fY1,Y2(y1,y2)=fX1,X2(x1,x2)|J|=12πey1212y1y22

fY1(y1)=ey1/24πy1y11y1y22dy2.

Utilicé esta integral: aa1a2x2=π para a>0.

Luego fY1(y1)=ey1/24, lo cual no es igual a ey1/22.

No logro identificar dónde está el error. Necesito ayuda.

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SahibPrime Puntos 229

Después de unos minutos mirando tu prueba. Finalmente encontré tu error. Está en el principio. El punto importante es que el signo de y2 no influye en el signo de $x_1.

El argumento menos formal que puedes hacer sería el siguiente. Por tu línea de razonamiento, te saltas la mitad de los casos, por lo tanto, tu respuesta debería ser multiplicada por 2. Volveré si puedo encontrar una forma más rigurosa de hacer esto. En otras palabras, encontré tu error, ahora empezaré a buscar una (mejor) forma de arreglarlo.

Editar: Entonces, el problema es que x1(y1,y2) tiene dos valores ±y1y22 y por lo tanto no puedes aplicar esa fórmula. Ahora, creo que la forma de resolver esto es dividir el problema en dos casos X1>0 y X10.

Editar2: Una forma de abordar lo último sería definir una variable Z=|X1|. Luego, nota que la densidad de Z está dada por (compruébalo tu mismo) fZ(z)=212πexp(z22)1{z>0} Luego, siguiendo tu argumento, primero nota que Z2D=X21 y obtenemos fZ,X2(z,x2)=212πexp(z2+x222)1{z>0} Reparametrizando nos da (nota que estas son las mismas fórmulas que tenías, es decir, z(y1,y2)=y1y22 y x2(y1,y2)=y2) fZ,X2(z(y1,y2),x2(y1,y2))=212πexp((y1y22)2+y222)=exp(y1/2)π1{y1>0, |y2|<y1} y obtenemos (nota que el Jacobiano que calculaste es similar al que tenías) fY1,Y2(y1,y2)=fZ,X2(z(y1,y2),x2(y1,y2))|J|=exp(y1/2)2πy1y221{y1>0, |y2|<y1} y por lo tanto, fY1(y1)=RfY1,Y2(y1,y2)dy2=Rexp(y1/2)2πy1y221{y1>0, |y2|<y1}dy2=exp(y1/2)2πy1y11y1y22dy21{y1>0}=exp(y1/2)21{y1>0} lo cual es exactamente lo que estabas buscando.

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