Encontrar la distribución de probabilidad usando transformaciones

Question

La pregunta:

Supongamos que $X_1,X_2$ son variables aleatorias idénticamente distribuidas con una distribución normal estándar común. Encuentra la función de densidad conjunta de $Y_1=X_1^{2}+X_2^{2}$ y $Y_2=X_2$ y la función de densidad marginal de $Y_1$. Pista: Ten en cuenta que el espacio de $Y_1$ y $Y_2$ está dado por $-\sqrt{y_1}< y_2< \sqrt{y_1}$, $0< y_1<\infty $.

Mi intento:

$X_1^{2}\sim \chi ^{2}(1)$ y $X_2^{2}\sim \chi ^{2}(1)$, por lo que $Y_1\sim \chi ^{2}(2)$. La función de densidad de $Y_1$ debería ser $\frac{1}{2}e^{\frac{-y}{2}}$. Intenté obtener el resultado utilizando las transformaciones de variables aleatorias.

Si $0< y_2<\sqrt{y_1}$, entonces $x_1=\sqrt{y_1-y_2^{2}}$.

Si $-\sqrt{y_1}< y_2<0$, entonces $x_1=-\sqrt{y_1-y_2^{2}}$

En ambos casos, el valor absoluto del jacobiano es $\frac{1}{2\sqrt{y_1-y_2^{2}}}$.

Entonces, $f_{Y_1 ,Y_2}(y_1,y_2)=f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)\left | J \right |$, donde $\left | J \right |$ es $\frac{1}{2\sqrt{y_1-y_2^{2}}}$.

$f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=\frac{1}{2\pi }e^{\frac{-y_1}{2}}$ (multiplicación de dos funciones de densidad normales estándar)

$f_{Y_1 ,Y_2}(y_1,y_2)=f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)\left | J \right |=\frac{1}{2\pi }e^{\frac{-y_1}{2}}\frac{1}{2\sqrt{y_1-y_2^{2}}}$

$f_{Y_1}(y_1)=\frac{e^{-y_1/2}}{4\pi }\int_{-\sqrt{y_1}}^{\sqrt{y_1}}\frac{1}{\sqrt{y_1-y_2^{2}}}dy_2$.

Utilicé esta integral: $\int_{-a}^{a}\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}=\pi $ para $a>0$.

Luego $f_{Y_1}(y_1)=\frac{e^{-y_1/2}}{4 }$, lo cual no es igual a $\frac{e^{-y_1/2}}{2 }$.

No logro identificar dónde está el error. Necesito ayuda.

Answer 1

Después de unos minutos mirando tu prueba. Finalmente encontré tu error. Está en el principio. El punto importante es que el signo de $y_2$ no influye en el signo de $x_1.

El argumento menos formal que puedes hacer sería el siguiente. Por tu línea de razonamiento, te saltas la mitad de los casos, por lo tanto, tu respuesta debería ser multiplicada por $2$. Volveré si puedo encontrar una forma más rigurosa de hacer esto. En otras palabras, encontré tu error, ahora empezaré a buscar una (mejor) forma de arreglarlo.

Editar: Entonces, el problema es que $x_1(y_1, y_2)$ tiene dos valores $\pm \sqrt{y_1-y_2^2}$ y por lo tanto no puedes aplicar esa fórmula. Ahora, creo que la forma de resolver esto es dividir el problema en dos casos $X_1 > 0$ y $X_1\leq 0$.

Editar2: Una forma de abordar lo último sería definir una variable $Z = |X_1|$. Luego, nota que la densidad de $Z$ está dada por (compruébalo tu mismo) $$ f_Z(z) = 2\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right)\cdot 1{\{z>0\}} $$ Luego, siguiendo tu argumento, primero nota que $Z^2 \stackrel{\mathcal{D}}{=} X_1^2$ y obtenemos $$ f_{Z,X_2}(z,x_2) = 2\cdot\frac{1}{2\pi} \exp\left(-\frac{z^2 + x_2^2}{2}\right)\cdot 1\{z>0\} $$ Reparametrizando nos da (nota que estas son las mismas fórmulas que tenías, es decir, $z(y_1, y_2)=\sqrt{y_1-y_2^2}$ y $x_2(y_1, y_2)=y_2$) $$ f_{Z,X_2}(z(y_1, y_2),x_2(y_1, y_2)) = 2\cdot\frac{1}{2\pi} \exp\left(-\frac{\left(\sqrt{y_1-y_2^2}\right)^2 + y_2^2}{2}\right) \\ = \frac{\exp(-y_1/2)}{\pi} \cdot 1\{y_1>0,\ |y_2|<\sqrt{y_1}\} $$ y obtenemos (nota que el Jacobiano que calculaste es similar al que tenías) $$ f_{Y_1,Y_2}(y_1, y_2) = f_{Z,X_2}(z(y_1, y_2),x_2(y_1, y_2))\cdot|J| = \frac{\exp(-y_1/2)}{2\pi\sqrt{y_1-y_2^2}}\cdot 1\{y_1>0,\ |y_2|<\sqrt{y_1}\} $$ y por lo tanto, $$ f_{Y_1}(y_1) = \int_{\mathbb{R}} f_{Y_1,Y_2}(y_1, y_2)\,\mathrm{d} y_2 = \int_{\mathbb{R}}\frac{\exp(-y_1/2)}{2\pi\sqrt{y_1-y_2^2}}\cdot 1\{y_1>0,\ |y_2|<\sqrt{y_1}\}\,\mathrm{d} y_2 \\ = \frac{\exp(-y_1/2)}{2\pi}\int_{-\sqrt{y_1}}^{\sqrt{y_1}}\frac{1}{\sqrt{y_1-y_2^2}}\,\mathrm{d} y_2 \cdot 1\{y_1>0\} = \frac{\exp(-y_1/2)}{2}\cdot 1\{y_1>0\} $$ lo cual es exactamente lo que estabas buscando.