Que $A$ un dominio, es decir, $ab\in A\implies a=0$ o $b=0$. Está escrito que todos los dominios son conmutativos. ¿Es por definición, o podemos demostrar que los dominios son conmutativos? ¿Es decir, consideramos sólo domaind de anillos comutativos, o es un anillo que es un dominio entonces conmutativo?
Respuestas
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Es "por definición", aunque, como la otra respuesta indica, algunos no están de acuerdo con la terminología.
Es perfectamente posible tener un no-conmutativa anillo que no tiene ningún cero divisores (excepto para $0$). Ejemplos de ello serían, por ejemplo, no conmutativa de la división de los anillos, también llamado sesgo de los campos. (Estos son los anillos, donde cada elemento no nulo tiene inverso multiplicativo.)
Como un aparte, para la división de los anillos no es un resultado interesante, que todos finito de la división de los anillos, de hecho, son conmutativas. Menciono esto como un ejemplo de que la conmutatividad se hace seguir de a primera vista inconexos propiedades.
Tal vez aún más al punto, y como se mencionó en la página forrado en la otra respuesta, como en un anillo finito (con identidad) sin no trivial cero divisores de cada elemento no nulo tiene inverso para finito de los anillos, de hecho, conmutatividad de la siguiente manera a partir de la propiedad que usted ha mencionado.
dmay
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415
Ese es un error: un dominio no tiene por qué ser conmutativo. Cuando es, lo llamamos un dominio integral.
rschwieb
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Algunos autores permiten que "dominio" se refiera a un anillo no conmutativo. Pero casi universalmente, el "dominio integral" implicará conmutatividad.
Aquí hay nueve ejemplos de anillos no conmutativos sin divisores cero distintos de cero .
Llamaré al menos a dos de ellos, los cuaterniones de Hurtwitz y Lipschitz .
