En la prueba de la existencia del encierro algebraico usando Zorn ' s lema en Patrick Morandi ' s * campo y teoría de Galois *

Question

Estoy estudiando de Patrick Morandi del Campo y de la Teoría de Galois, y en la página 32 se demuestra la existencia de una clausura algebraica de un campo arbitrario, de la siguiente manera:

Lema 3.13. Si $K/F$ es algebraica, a continuación,$|K| \leq \max\{ |F|,|\mathbb{N}| \}$.

Teorema 3.14. Deje $F$ ser un campo. A continuación, $F$ ha algebraica de cierre.

Prueba. Deje $S$ ser un conjunto que contenga $F$$|S| > \max\{ |F|, |\mathbb{N}| \}$. Deje $\mathcal{A}$ ser el conjunto de todos los algebraicas campos de la extensión de $F$ dentro $S$. A continuación, $\mathcal{A}$ es ordenado por definir $K \leq L$ si $L$ es una extensión del campo de $K$. Por el lema de Zorn, existe un elemento maximal $M$$\mathcal{A}$. Pretendemos que $M$ algebraica de cierre de $F$. Para mostrar que $M$ es algraically cerrado, deje $L$ ser una extensión algebraica de $M$. Por El Lema 3.13, $$ |L| \leq \max\{ |M|, |\mathbb{N}| \} \leq \max\{ |F|,|\mathbb{N}| \} < |S|. $$ Por lo tanto, no es una función de $f:L \to S$$f|_M = \operatorname{id}$. Definiendo $+$$\cdot$$f(L)$$f(a) + f(b) = f(a+b)$$f(a) \cdot f(b) = f(ab)$, podemos ver que $f(L)$ es un campo de extensión de $M$ $f$ es un campo homomorphism. Maximality de $M$ muestra que $f(L) = M$. Por lo tanto, $M$ es algebraicamente cerrado. Desde $M$ es algebraico sobre $F$, podemos ver que $M$ algebraica de cierre de $F$. $\tag*{$\blacksquare$}$

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No entiendo la segunda línea de la prueba, donde dice

Deje $\mathcal{A}$ ser el conjunto de todos los algebraicas campos de la extensión de $F$ dentro $S$.

Ya que estamos asumiendo $S$ es sólo un conjunto que contenga $K$, por lo que no tiene ningún tipo de estructura de campo definido a priori, ¿cómo podemos hablar de campo de extensiones de $F$$S$?

La idea de que actualmente estoy teniendo en cuenta es que debemos tener una extensión algebraica $K$ $F$ y, a continuación, utilizar un bijection de este conjunto en un subconjunto de a $S$ a definir la suma y la multiplicación en este subconjunto, en la misma forma en la que hacemos más adelante en la $L$. Y entonces nosotros, posiblemente, hacer este proceso para cada extensión algebraica de $K$.

Pero entonces lo que no veo es cómo asegurar que las diferentes asignaciones son compatibles el uno con el otro. Y, si tengo dos isomorfo extensiones algebraicas de $K$, luego el mapa para el mismo subconjunto de $S$ o algo?

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Sería realmente útil si alguien pudiera guiarme en el llenado de los detalles aquí.

Answer 1

Cualquier contables conjunto puede ser dotado de una estructura de campo utilizando un bijection entre el conjunto y $\Bbb Q$ y lo que se conoce como el transporte de la estructura. Del mismo modo, cualquier conjunto de tamaño $2^{\aleph_0}$ puede ser dada una estructura de campo isomorfo a $\Bbb R$ o $\Bbb C$ o en cualquier otra esfera de la cardinalidad.

Esto es similar a la forma en que cualquier ubicación en el disco duro puede contener los datos de esta página. El conjunto teórico universo es sólo un gran archivo de paginación, por así decirlo. Así que cuando se habla de un campo, se le asigna a una serie adecuada y dotarlo de las quería estructura.

A su vez, esta flexibilidad también impone un problema. Si $F$ es un campo, entonces cualquier conjunto que contenga $F$ puede ser una extensión de $F$ (o un subconjunto de la extensión). Así que cuando usted viene a aplicar el lema de Zorn, tienen una buena clase de campos para trabajar con. Pero el lema de Zorn se aplica a los conjuntos, no a las clases. Por lo que usted necesita alguna manera de restringir el este.

Pero afortunadamente, sólo hay "muchas" maneras diferentes para dar a $F$ algebraica de extensión,¹ ya que todos los que debe tener la misma cardinalidad (más o menos una contables conjunto) como $F$. Por lo tanto, podemos arreglar una lo suficientemente grande como establecer y exigir que todas las extensiones algebraicas será tomado como subconjuntos del conjunto, y de manera coherente.²

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1. La razón es que todas las extensiones algebraicas puede ser dada a un conjunto $A$ con la misma cardinalidad como $F\cup\Bbb N$. Cada estructura está hecha de la suma y la multiplicación, ambos de los cuales son subconjuntos de a $A\times A$. Dado que hay muchas subconjuntos de a $A\times A$, sólo hay muchas maneras de dar a $A$ un campo de la estructura, por no hablar de una extensión algebraica de $F$.

2. Esto se puede hacer tomando clases de isomorfismo y la elevación de las incrustaciones de las clases de equivalencia. Por supuesto, no existe a priori ninguna forma de elección de los representantes a fin de que las incrustaciones corresponden a inclusiones, pero podemos probar usando el lema de Zorn, existe un máximo de equivalencia de la clase que corresponde a la clausura algebraica. Después de elegir el que uno, entonces podemos elegir las extensiones algebraicas para ser ordenado por las inclusiones de los subcampos de la clausura.

Answer 2

Usted está overthinking este. Usted está en lo correcto que $S$ es sólo un conjunto. Un elemento de $\mathcal{A}$ es un subconjunto $K$ $S$ junto con un campo de la estructura en $K$ tal de que este campo de la estructura hace que $K$ algebraica de extensión de campo de $F$. Un subconjunto de a $S$ no se hace automáticamente la estructura del campo, pero la especificación de un elemento de $\mathcal{A}$ implica la elección de una determinada estructura de campo para poner en su subconjunto.

El punto entero de que el lema de Zorn argumento, entonces, es evitar el desorden que usted describe acerca de averiguar cómo de la compatibilidad incrustar todas las posibles extensiones algebraicas en $S$. Solo tienes que elegir un máximo de extensión algebraica de $F$ cuyo conjunto subyacente es subconjunto de a $S$. Entonces, como se argumentó en la prueba, maximality garantiza que este campo es un campo algebraicamente cerrado.