Espacio vectorial con x+y=xy, cx=x^c

Question

Si $x+y=xy$ y $cx=x^c$ ( $c$ es un número real) donde $x,y$ Positivo. Quiero probar que este puede ser un espacio vectorial para todos $x,y>0$ . ¿No hay un problema con el axioma que dice "Para cada $v \in V$ existe un elemento $−v \in V$ llamado el inverso aditivo de $v$ de tal manera que $v + (−v) = 0$ "porque por la forma en que se define la adición $x+y=xy$ por cada número positivo x elemento de teatro será cero, de modo que $x+0=x0=0$ . Excepto si el "cero" es en realidad $1$ porque $x+1=x$ y el invento del aditivo será $1/x$ . $x+1/x=1$ . ¿Puede alguien aclarar un poco las cosas?

Answer 1

Quizá el uso de símbolos de suma para otras operaciones pueda resultar confuso, así que no lo hagamos.

Considere el conjunto $V=\mathbb{R}^+_0$ es decir, el conjunto de los números reales positivos estrictos, y lo dotamos ahora de dos operaciones:

• $\square: V\times V\rightarrow V:(x,y)\mapsto x\square y:=xy$
• $\cdot:\mathbb{R}\times V\rightarrow V:(c,x)\mapsto x^c$

Afirmamos que $(\mathbb{R},V,\square,\cdot)$ es un espacio vectorial real. Comprobaremos todos los axiomas:

1. $(V,\square)$ es un grupo conmutativo: El elemento neutro de $\square$ es $1$ En efecto, $1\square x=x=x\square 1$ para todos $x\in V$ . La inversa de $x\in V$ viene dada por $\frac{1}{x}$ . Claramente $\square$ es asociativo y conmutativo. Esto demuestra que $(V,\square)$ es un grupo abeliano (a menudo el elemento neutro se denota por $0$ para tales grupos, pero no lo haremos aquí ya que el elemento neutro es $1$ ).
2. La operación $\cdot$ es un producto escalar: $$c\cdot(x\square y):=c\cdot(xy)=(xy)^c=x^cy^c=(x^c)\square (y^c)=(c\cdot x)\square (c\cdot y)$$ $$(c+d)\cdot x= x^{c+d}=x^cx^d=(c\cdot x)\square (d\cdot x)$$ $$(cd)\cdot x=x^{cd}=(x^d)^c=c\cdot (x^d)=c\cdot(d\cdot x)$$ $$1\cdot x=x^1=x$$

Como todo esto parece funcionar, concluimos que $(\mathbb{R},V,\square, \cdot)$ es un espacio vectorial real con las operaciones dadas.

Entonces, ¿por qué le resultaba confuso? Simplemente tiene que ver con las convenciones notacionales habituales en matemáticas. A menudo escribimos $0$ para el elemento neutro en un grupo abeliano, especialmente para el grupo subyacente de un espacio vectorial. Pero incluso si se considera $\mathbb{R}^2$ como un espacio vectorial, $0$ denota en realidad el vector $(0,0)$ . El ejemplo anterior es más extremo en el sentido de que el elemento neutro real $0$ viene dada por $1$ .

Answer 2

En casos como este, es una buena idea llevar la cuenta de dónde viene cada concepto.

Por ejemplo, el número $1$ se llama así por cómo se comporta con respecto a la multiplicación en $\Bbb R$ , mientras que $0$ se llama así por cómo se comporta con respecto a la suma regular.

Por otra parte, en cualquier espacio vectorial, el vector $\vec0$ se llama así por cómo se comporta con respecto al adición de vectores . En este espacio vectorial, la suma de vectores es una multiplicación regular, por lo que $\vec0$ es $1$ .

Si usted, por cada operación o elemento nombrado por alguna propiedad que tenga como $1$ o $0$ son muy claro sobre la estructura de la que forma parte (por ejemplo, escribiendo $\vec 0$ en lugar de $0$ para el vector cero, escribiendo $\vec+$ en lugar de $+$ para la adición de vectores, $\vec\cdot$ para la multiplicación escalar y $\vec -$ para la inversión de vectores), es mucho más fácil ver lo que está pasando.