¿Por qué dos definiciones de curvatura dan respuestas diferentes?

Question

En la sección 13.4 problema 33 de Cálculo tercera edición temprana transcedentals por Jon Rogawski y Colin Adams, los estados

Deje $$s(t)=\int_{-\infty}^t\|r'(u)\| \ du$$ de Bernoulli espiral $$r(t)= \langle e^t\cos(4t),e^t\sen(4t) \rangle$$ Demostrar que el radio de curvatura es porportional a $s(t)$

A pesar de mi libro de texto de los estados de la curvatura $k(t)$ es igual a

$$\frac{\|T'(t)\|}{\|r'(t)\|}$$

que es también (para arbitrario regular el proceso de parametrización)

$$\frac{\|r'(t) \times r''(t)\|}{\|r'(t)\|^3}$$

Puedo obtener respuestas diferentes en la aplicación de ambos métodos.

Método uno

$$T(t)=\frac{r'(t)}{\|r'(t)\|}$$

$$r'(t)=\langle e^t\cos{\left(4t\right)}-4e^t\sin{\left(4t\right)}, e^t\sen(4t)+4e^t \cos(4t) \rangle$$

$$\|r'(t)\|=\sqrt{17}e^t$$

$$T(t)=\frac{1}{\sqrt{17}e^t}{\langle e^t\cos{\left(4t\right)}-4e^t\sin{\left(4t\right)}, e^t\sen(4t)+4e^t \cos(4t) \rangle}=\frac{1}{\sqrt{17}}{\langle \cos{\left(4t\right)}-4\sin{\left(4t\right)}, \sen(4t)+4 \cos(4t) \rangle}$$

$$T'(t)=\frac{1}{\sqrt{17}}{\langle -4\sin{\left(4t\right)}-16\cos{\left(4t\right)}, 4\cos(4t)-16 \sen(4t) \rangle}$$

$$\|T'(t)\|=\frac{1}{\sqrt{17}}\sqrt{16+256}=\frac{\sqrt{272}}{\sqrt{17}}=4$$

$$k(t)=\frac{\|T'(t)\|}{\|r'(t)\|}=\frac{4}{\sqrt{17}e^{2t}}$$

El eqution $s(t)$ es

$$\int_{-\infty}^{t}\|r'(t)\| \ du=\int_{-\infty}^{t}\sqrt{17}e^t=\sqrt{17}e^t$$

Por lo tanto la relación de $s(t)$ para el radio de curvatura $k(t)$ es

$$\frac{\sqrt{17}e^t}{4\sqrt{17}e^t}=1/4$$

Método De Los Dos

En el segundo método de calcular los

$$\frac{\|r'(t) \times r''(t)\|}{\|r'(t)\|^3}$$

Ya sabemos

$$\|r'(t)\|=\sqrt{17}e^t$$

$$\|r'(t)\|^3=17\sqrt{17}e^{3t}$$

Calcuating $$r''(t)$$, obtenemos

$$r''(t)=\langle -15e^t\cos(4t)-8e^t\sin(4t), -15e^t\sin(4t)+8e^t\cos(4t) \rangle $$

Por lo tanto $\|r'(t)\times r''(t)\|$ es igual a

$$\sqrt{68}e^t=2\sqrt{17}e^{t}$$

Por lo tanto $$\frac{\|r'(t) \times r''(t)\|}{\|r'(t)\|^3}=\frac{2}{17 e^{2t}}$$

Con esto sabemos que la proporción de $s(t)$ a un radio de curvatura es

$$\frac{\sqrt{17}e^t}{\frac{2}{17} e^{2t}}=\frac{17\sqrt{17}}{2}e^t$$

Razones por las diferentes respuestas

Una posibilidad es que en el libro de texto. Que el estado,

"En la práctica, podemos calcular la curvatura mediante la siguiente fórmula, lo que es válido para abitrary regular paramterizations

$$\frac{\|r'(t) \times r''(t)\|}{\|r'(t)\|^3}$$

Sin embargo no estoy seguro de lo "arbitrario regular parmaterization". ¿Cómo funciona esto nos da dos respuestas diferentes?

Answer 1

No parece ser sólo un pequeño error en la OP del cálculo.

Podemos comprobar la validez de la fórmula
\begin{align*} \frac{\|T^\prime(t)\|}{\|r^\prime(t)\|}=\frac{\|r^\prime(t)\times r^{\prime\prime}(t)\|}{\|r^\prime(t)\|^3}\tag{1} \end{align*} tomando el valor real de las funciones de $x=x(t), y=y(t)$ y la configuración de \begin{align*} r^{\prime}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle \end{align*}

Obtenemos \begin{align*} \|r^\prime(t)\|&=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}\\ T(t)&=\frac{r^\prime(t)}{\|r^\prime(t)\|}\\ &=\left\langle \frac{x(t)}{\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}},\frac{y(t)}{\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}}\right\rangle\\ T^\prime(t)&=\left\langle\frac{y(t)\left(y(t)x^\prime(t)-x(t)y^\prime(t)\right)}{\left(x^2(t)+y^2(t)\right)^{3/2}}, -\frac{x(t)\left(y(t)x^\prime(t)-x(t)y^\prime(t)\right)}{\left(x^2(t)+y^2(t)\right)^{3/2}},\right \rangle\\ &=\frac{y(t)x^\prime(t)-x(t)y^\prime(t)}{\|r^\prime(t)\|^3}\Big\langle y(t),-x(t)\Big\rangle\\ \|T^\prime(t)\|&=\frac{|y(t)x^\prime(t)-x(t)y^\prime(t)|}{\|r^\prime(t)\|^3}\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}\\ &=\frac{|y(t)x^\prime(t)-x(t)y^\prime(t)|}{\|r^\prime(t)\|^2}\tag{2}\\ r^\prime(t)\times r^{\prime\prime}(t)&=\langle x(t),y(t),0 \rangle\times\langle x^\prime(t),y^\prime(t),0\rangle\\ &=\langle 0,0,y(t)x^\prime(t)-x(t)y^\prime(t)\rangle\\ \|r^\prime(t)\times r^{\prime\prime}(t)\|&=|y(t)x^\prime(t)-x(t)y^\prime(t)|\tag{3} \end{align*}

A partir de (2) y (3) obtenemos \begin{align*} \color{blue}{\frac{\|T^\prime(t)\|}{\|r^\prime(t)\|}}&=\frac{|y(t)x^\prime(t)-x(t)y^\prime(t)|}{\|r^\prime(t)\|^3} \color{blue}{=\frac{\|r^\prime(t)\times r^{\prime\prime}(t)\|}{\|r^\prime(t)\|^3}} \end{align*} y la afirmación (1) de la siguiente manera.

Ahora consideremos el caso especial \begin{align*} r^{\prime}(t)&=\langle x(t),y(t)\rangle\\ &=e^t\langle \cos(4t)-4\sin(4t),\sin (4t)+4\cos (4t)\rangle \end{align*}

Calculamos \begin{align*} \|r^\prime(t)\|&=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}\\ &=e^t\sqrt{17}\\ r^{\prime\prime}(t)&=e^t\langle -8\sin(4t)-15\cos(4t),8\cos(4t)-15\sin(4t)\rangle\\ \|r^\prime(t)\times r^{\prime\prime}(t)\|&=|y(t)x^\prime(t)-x(t)y^\prime(t)|\\ &=e^{2t} |(\sin(4t)+4\cos(4t))(-8\sin(4t)-15\cos(4t))\\ &\qquad\qquad-(\cos(4t)-4\sin(4t))(8\cos(4t)-15\sin(4t))|\\ &=68e^{2t}\\ \|T^\prime(t)\|&=\frac{68e^{2t}}{17e^{2t}}\\ &=4 \end{align*} Se obtiene finalmente \begin{align*} \frac{\|T^\prime(t)\|}{\|r^\prime(t)\|}&\color{blue}{=\frac{4}{e^t\sqrt{17}}}\\ \frac{\|r^\prime(t)\times r^{\prime\prime}(t)\|}{\|r^\prime(t)\|^3}&=\frac{68e^{2t}}{\left(e^t\sqrt{17}\right)^3}\color{blue}{=\frac{4}{e^t\sqrt{17}}} \end{align*}

Answer 2

El problema se reduce a un simple error de cálculo en el final de la segunda sección. En el cálculo de la cruz del producto de la norma, supongo que hubo un error de cálculo, como debe de ser $\sqrt{(68e^{2t})^2}$, que se convierte en $68e^{2t}$. Por lo tanto, nuestra segunda curvatura se convierte en $\frac{4}{\sqrt{17}}e^-t$, que es el mismo que el de su curvatura por la computación de la primera manera. (En una sola línea en la primera parte hay un tipo que escribe $e^{-2t}$ sin embargo, sus cálculos y su trabajo que conducen a ella no la uso así que voy a suponer que es un error).

En general, tanto las fórmulas para la curvatura de la celebrará, y será igual. El único momento en que puedo pensar es cuando no es una curva incrustado en $R^3$ con el fin de utilizar el producto cruzado, sin embargo, si usted usa la fórmula proporcionada por Sobi puede evitar este problema. La derivación de la cruz de la definición del producto de la curvatura comienza con la definición clásica, así que uno nunca va a trabajar sin el otro.