Estoy seguro de que vi una pregunta similar como esta antes pero no lo encuentro ahora. He probado con "orden" pero no pudo. Es bastante obvio cuando $y$ es un número par. El problema real es cuando $y$ es impar. ¿Hay alguna forma fácil de solucionar esto? Gracias.
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- Sobre las ecuaciones $m^2+1=5^n$ (5 respuestas )
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Carl Schildkraut
Puntos
2479
No es una respuesta completa, pero demasiado largo para un comentario y podría tener algunas ideas útiles:
Vemos que, en los números complejos, necesitamos
$$(x+i)(x-i)=(2+i)^y(2-i)^y.$$
Por lo tanto, tenemos
$$x+i=\pm (2+i)^m(2-i)^n, x-i=\pm (2+i)^{y-m}(2-i)^{y-n}.$$
Así,
$$\gcd(x+i,x-i)=\gcd(x+i,x-i)|2i,$$
pero un divisor de
$$(2+i)^{\min(m,y-m)}(2-i)^{\min(n,y-n)};$$
como cada uno de $2+i$ $2-i$ son coprime a $2i$, por lo tanto se deben tener ese $m,n\in\{0,y\}$. Claramente, esto implica $(m,n)=(0,y)$ o $(m,n)=(y,0)$. De cualquier manera,
$$\Im((2+i)^y)=\pm 1.$$
Deje $2+i=z=re^{i\theta}$. Entonces tenemos que
$$z^y\pm z\in\mathbb{R}$$
$$z^y\pm z = \bar{z}^y\pm\bar{z}$$
$$z^y-\bar{z}^y = \pm(z-\bar{z})$$
$$\frac{z^y-\bar{z}^y}{z-\bar{z}}=\pm 1.$$
Definir
$$a_n=\frac{z^n-\bar{z}^n}{z-\bar{z}}.$$
Tenemos que, como $a_n=Az^n+B\bar{z}^n$ para algunos de los números complejos $A$$B$,
$$a_{n+2}-4a_{n+1}+5a_n=0,$$
y $a_0=0$, $a_1=1$. Esto es suficiente para mostrar que ningún elemento de esta secuencia con el índice de $>1$ tiene magnitud $1$.
Otra idea es que
$$\text{Im}\left(z^n\right)=r^n\sin(n\theta),$$
así que necesitamos
$$\sin(n\theta)=\pm\frac{1}{r^n},$$
lo que implica la existencia de un entero positivo $m$, de modo que
$$|n\theta-m\pi|\leq \frac{2}{r^n}$$
(como $x/2<\sin(x)$ todos los $0<x<\pi/4$, por ejemplo). Esto implica que
$$\left|\frac{\theta}{\pi}-\frac{m}{n}\right|\leq \frac{2}{\pi(nr^n)}.$$
En otras palabras, $\theta/\pi$ está muy bien aproximada por los números racionales.
