Aplicaciones de la fracción de Cálculo

Question

He visto recientemente, por primera vez en Funciones Especiales (por G. Andrews, R. Askey y R. Roy) las definiciones de las fracciones integral

$$(I_{\alpha }f)(x)=\frac{1}{\Gamma (\alpha )}\int_{a}^{x}(x-t)^{\alpha -1}f(t)dt\qquad \text{Re}\alpha >0$$

y derivada fraccional

$$\frac{d^{\nu }w^{\mu }}{dw^{\nu }}=\frac{\Gamma (\mu +1)}{\Gamma (\mu -\nu +1)}w^{\mu -\nu },$$

en Las Funciones Hipergeométricas Capítulo.

Me gustaría saber algunas aplicaciones para las fracciones de Cálculo y/o que los resultados sólo pueden ser obtenidas por la misma, si las hubiere.

Answer 1

Fracciones de derivados pueden ser utilizados para establecer conexiones entre las diversas funciones especiales. El libro de Un Atlas de las Funciones de hace un uso intensivo de este, especialmente los derivados de la orden de 1/2 y -1/2.

También, la existencia de fracciones de derivados está relacionado con la convergencia de las transformadas de Fourier. Por ejemplo, si una función tiene un 1/2 de un derivado que significa que usted puede multiplicar su transformada de Fourier por $x^{1/2}$ y sigue en la $L^2$. Pero no he visto mucho uso en realidad computación fracciones de derivados, sólo saber que existen.

En un poco de la nota relacionada, véase mi respuesta a una pregunta de Matemáticas de Desbordamiento relacionados con los espacios de Sobolev.

Answer 2

Yo no diría que hay resultados que sólo pueden ser obtenidos a través de differintegration. Sólo sucede que hay problemas cuya solución aspecto más limpio cuando traemos la maquinaria de differintegrals.

Spanier y Oldham y Miller y Ross siguen siendo referencias útiles en las aplicaciones de la differintegration. La primera referencia que se tiene un capítulo sobre cómo ciertos difusión de los problemas tienen una prolija formulación cuando differintegrals se utilizan. Para la segunda referencia, la aplicación que me llamó la atención fue la de Abel solución a los llamados tautochrone problema: encontrar la curva tal que el tiempo necesario para que una partícula a descender a partir de una posición dada a la parte inferior de la curva (suponiendo que no hay fricción) es independiente de la posición.

A pesar de Huygens y otros matemáticos han obtenido esta solución mucho antes de que Abel, él decidió usar una ecuación integral de la formulación que puede ser resuelto con la ayuda de differintegration. En particular, llegó a la ecuación

$$\sqrt{2g}T=\int_0^y\frac{s^{\prime}(\eta)}{\sqrt{y-\eta}}\mathrm{d}\eta$$

que cuando reformulada como differintegral es

$$\sqrt{\frac{2g}{\pi}}T=\frac{\mathrm{d}^{-\frac12}}{\mathrm{d}y^{-\frac12}}s^{\prime}(y)$$

No voy a estropear el resto de la solución; yo le sugiero que lea Miller y Ross si usted está interesado.

Answer 3

dditional aplicaciones que han surgido recientemente en la fracción de los procesos de difusión, mathematial biología (random movimientos oculares seguir una fracción de proceso), de la física solar, y en muchos otros lugares. En estos casos la fracción de los derivados que se utilizan (como se señaló anteriormente), principalmente en modelos de escritura como fracciones de ecuaciones diferenciales. Una discusión más detallada de las fracciones de difusión de la ecuación y sus aplicaciones se pueden encontrar aquí.

Answer 4

Miller y Ross se ve muy bonito.

Tan lejos como a aplicaciones: Aplicaciones de la fracción de Ecuaciones Diferenciales. Por alguna extraña razón, el enlace original no está disponible. En su lugar, se puede mirar por el uso de Google Docs viewer.

Answer 5

Un artículo corto para el público en general fue publicado en Scribd : "El fractionnal derivación"
http://www.scribd.com/JJacquelin/documents