Estoy un poco confundido acerca exponencial de los objetos en la categoría de teoría.
Me parece bastante intuitivo cuando pienso en ellos como "arbitraria-arity productos cartesianos"; en el sentido de que si yo no había visto nunca exponenciales y me recordó a la definición estándar de los productos a través de la costumbre universal de la construcción, y usted me pidió que venir para arriba con un universal de la construcción para los productos indexados no sólo por fst y snd pero por un objeto cualquiera en la categoría, entonces me plausiblemente podría venir para arriba con los diagramas estándar para exponencial de los objetos. En esta configuración, el eval morfismos $A \times Z^A \to Z$ puede ser pensado como la $A$-indexado de la familia de proyección morfismos de una $|A|$-arity producto de $Z$ objetos.
Sin embargo, parece bastante común pensar exponencial de los objetos que no arbitrarias-arity cartesiano, sino como "objetos de la función" -- por ejemplo, la exponencial de objetos en Hask son más o menos la función de los espacios, con eval siendo función de la aplicación. (La relación exponencial entre los objetos y funciones, es por eso que las flechas se denominan eval flechas en primer lugar, IIUC.) Esta es una idea que yo no se pero creo que se podría replicar en el mío propio. Si yo nunca había visto exponenciales y me recordó categórica acerca de los productos y dijo: "este universal de construcción de los pines de abajo interna de las representaciones de la externa de los productos que nos podríamos hacer en la categoría de producto", y entonces me pidió que venir para arriba con un universal de la construcción que cubrió de objetos que actúan como una representación interna de la externa Hom-conjuntos, estaría tratando de establecer compose morfismos $Z^B \times B^A \to Z^A$ junto con un poco de manera de generar una flecha $1 \to Z^A$ por cada flecha $A \to Z$, junto con un montón de diagramas que asegurarse de que compose actúa de la manera que debería. No creo que me gustaría tener el pensamiento de que yo debería inventar eval lugar (al menos, no se si fue una categoría nativa teórico frente a un nativo programador).
He jugado un poco con las diversas definiciones de este formulario y trató de mostrar que esto es equivalente a la definición estándar de la exponencial de los objetos. Dado exponencial de los objetos es fácil derivar compose y una manera de $A \to Z$$1 \to Z^A$, pero dado que los dos thingies, no puedo ver una manera de regresar a la definición estándar de exponenciales sin asumir algo que relaciona las exponenciales de vuelta a pares, tales como isomorphisms entre el $(Z^A)^B$ $Z^{A \times B}$ o adecuado morfismos $pair : ((A \times B)^B)^A$ satisfacer algunas de las propiedades deseadas.
Por lo tanto, mi intuición es que la exponencial de los objetos tal y como son definidos generalmente no son sólo los objetos internos que actúan como los externos hom conjuntos; son objetos que actúan como hom conjuntos y apoyo alarmada. Actualmente, parece plausible para mí que no podía ser natural de la noción de "flecha objetos" que generalizar "exponencial de los objetos", donde la flecha objetos de apoyo de la composición, y la exponencial objetos agregar alarmada. Sin embargo, todavía estoy sintiendo un poco confundido aquí, y tengo una vaga sensación de que he perdido el compás en algún lugar. Por lo tanto, mi pregunta es:
Hay una razón natural, ¿por qué nos debería demanda alarmada / eval en nuestro "flecha objetos"? O, de otra manera de expresar la misma pregunta: ¿existe un natural de la noción de un "objeto de flecha" que generaliza exponencial de los objetos (de forma análoga a cómo monoids generalizar grupos)?
(Por lo que vale, sí, estoy consciente de que las exponenciales son derecho adjuntos a los productos y que es bastante ingenioso; entiendo que la "flecha de los objetos", si es que existen) no satisface la propiedad; yo todavía me gustaría saber si existe un natural de la noción de flecha objetos que carecen de esta bonita propiedad, sino de generalizar exponencial objetos de todos modos.)
