Deje $S$ ser un semigroup, un subconjunto $I\subseteq S$ se llama un ideal si $SI \subseteq I$$IS \subseteq S$. Denotamos por a $S^1$ el semigroup $S$ se acueste con una identidad si no se contiene, y para $a \in S$ establecer $J(a) = S^1aS^1$, el director ideal generado por a $a$. También hemos creado para $a,b \in S$ $$ un \mathcal J b :\Leftrightarrow S^1 S^1 = S^1 b S^1. $$ Por un ideal que podemos formar la Rees factor semigroup denota por $S / I$, lo que esencialmente significa el colapso de todo en la $I$ a un cero en el factor de semigroup. Indicar el $\mathcal J$-clase de equivalencia de algunas $a \in S$$J_a$.
Un factor principal es un factor semigroup de la forma $J(a) / (J(a) \setminus J_a)$, ver la Ecyclopdia de las matemáticas. La única mínimo ideal, llamado el núcleo de $S$, es uno de los factores principales.
Un null semigroup (o semigroup con cero de la multiplicación) es un semigroup $S$ con un cero $0 \in S$ tal que $ab = 0$ todos los $a,b \in S$. Un semigroup se llama semisimple si ninguno de los principales factores es nulo semigroup.
Quiero mostrar que un semigroup $S$ es semisimple si y onyl si $A^2 = A$ para cada ideal $A \subseteq S$.
Este es un ejercicio del libro Fundamentos de Semigroup Teoría de J. Howie, página 95.
Lo que no entiendo es que si un semigroup contiene un cero $0$, el mínimo ideal debe ser $\{0\}$, en particular, este es un null semigroup. Pero puede muy bien encontrar semigroups tal que $A^2 = A$ para cada ideal que tiene un cero. Por ejemplo tomar cualquier grupo $G$, lindan con un cero $0$ mediante el establecimiento $g0 = 0g =0$ y observar que el único que los ideales se $\{0\}$ $G \cup\{0\}$ sí, y ambos cumplen con la condición de ideales...
Así que todas las sugerencias en este ejercicio, o lo he entendido mal aquí?
EDIT: tal vez hay un error tipográfico en el ejercicio, y el principal de los factores no es igual a la del núcleo están destinados. Pero el mismo ejercicio aparece en el clásico de la Teoría Algebraica de Semigroups por Clifford/Preston, y el enlace de arriba a la Enciclopedia no excluye el kernel. Pero si excluimos el kernel, de $A^2 = A$ para cada ideal $A$ si no el principal factor que no es igual el kernel es nulo. Para $A^2 \subsetneq A$ elija $a \in A \setminus A^2$, $J(a) / N(a)$ es nulo, porque si $x,y \in J(a)$ $xy \notin N(a)$ implicaría $a = u(xy)v$ algunos $u,v \in S^1$$(ux)(yv) \in A^2$. Por el contrario, como $S^2 / I = (S/I)^2$ por cada semigroup $S$ e ideal $I$ tenemos que $(J(a)/N(a))^2 = J(a)^2 / N(a) = J(a) / N(a)$ y $|J(a)/N(a)| > 1$ si $N(a) \ne\emptyset$ los principales factores que no es igual el kernel no son nulos. Pero en caso de que no es un error, pido comentarios/aclaraciones...
