¿Existen soluciones de solitones para las ecuaciones de Maxwell?

Question

Algunas ecuaciones diferenciales no lineales (como las de Korteweg-de Vries y Kadomtsev-Petviashvili) tienen soluciones de "ondas solitarias" (solitones).

¿El conjunto de ecuaciones diferenciales parciales conocido como "ecuaciones de Maxwell" admite teóricamente este tipo de soluciones?

En ese caso, ¿deben aparecer estas soluciones en forma de "conchas estacionarias" del campo electromagnético? Por "estacionarias", me refiero a si las soluciones mantienen su forma?

Gracias por sus comentarios.

Answer 1

La respuesta es sí a ambas preguntas. Si se plantean las ecuaciones de Maxwell en coordenadas cilíndricas para un cable de fibra óptica, y se toma birrefringencia se obtienen las ecuaciones no lineales de Schrödinger acopladas. A continuación, puedes resolverlas mediante el Transformación inversa de la dispersión que toma el sistema original de pde's no lineales (no lineales debido al sistema de coordenadas), los transforma en un sistema acoplado de ode's lineales (el Sistema Manakov ) que son fáciles de resolver, y luego, mediante el Ecuación integral de Gel'fand-Levitan-Marchenko se llega a las soluciones de solitón de los pde originales. Para las referencias, véase C. Menyuk, Aplicación de métodos de escala de longitudes múltiples al estudio de la transmisión por fibra óptica Journal of Engineering Mathematics 36: 113-136, 1999, Kluwer Academic Publishers, Países Bajos, y mi propia disertación que incluye otras referencias de interés. En particular, el libro de Shaw Principios matemáticos de la comunicación por fibra óptica tiene la mayoría de estas derivaciones.

Las soluciones de solitones resultantes se comportan en su mayor parte como ondas, pero también interactúan de forma parecida a las partículas; por ejemplo, en una colisión, pueden alterar la fase de los demás, un comportamiento decididamente no ondulatorio. Los solitones no se quedan en un lugar; en el caso anterior, viajarían por el cable de fibra (de hecho, los solitones son la razón por la que la fibra es la columna vertebral de Internet), y autocorregirían su forma a medida que avanzan. Y, como las ecuaciones de Maxwell tratan de campos electromagnéticos, las soluciones son, efectivamente, "cáscaras" estacionarias (en su sentido) de campos electromagnéticos.

Answer 2

Adrian ya ha dado una respuesta interesante, pero creo que vale la pena señalar dos puntos clave que eran necesarios para su situación de solitón. En primer lugar, era necesario imponer alguna forma específica de datos iniciales-límite (para restringir las ondas al interior del cable de fibra óptica), y en segundo lugar era necesario imponer suposiciones físicas sobre el medio que realmente cambiaban la EDP subyacente.

Si se consideran las ecuaciones de Maxwells sin fuente en el vacío, entonces se sabe que los campos eléctricos y magnéticos $E$ y $B$ satisfacen las ecuaciones de onda estándar $\Box E=0$ , $\Box B =0$ . Si trabaja en el dominio $(x,t)\in \mathbb{R}^3 \times [0,\infty)$ de "espacio abierto", y si se plantea un problema de Cauchy para las ecuaciones, lo que significa que si se especifican algunos datos iniciales (que por supuesto deben satisfacer condiciones libres de divergencia) a lo largo de la superficie inicial $t=0$ entonces se deduce de la fórmula de Kirchoff para la solución que los campos $E$ y $B$ tienen que decaer en el tiempo. En concreto, se tiene $\|D^\alpha E(\cdot,t), D^\alpha B(\cdot,t)\|_{L^\infty(\mathbb{R}^3)} \to 0$ como $t\to \infty$ donde $D^\alpha$ representa cualquier elección de composición de derivadas parciales.

Por lo tanto, las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en un dominio no delimitado siempre deben "dispersarse en el infinito", y no se puede esperar encontrar soluciones de tipo solitón.