Muchas funciones pueden continuarse analíticamente hasta $\mathbb C$ excepto el corte de la rama.
Sin embargo, me parece que para cada función $f(z)$ que tiene un corte de rama, siempre existe una función meromorfa/entera no constante $g(z)$ tal que $f(g(z))$ puede ser continuado analíticamente a la totalidad de $\mathbb C$ .
Por ejemplo, $$\sqrt {x^2}=x$$ $$\ln e^x=x$$ $$\arccos\cos x =x$$ $$\ln\ln e^{e^x}=x$$ $$\operatorname{W}(xe^x)=x$$ Ejemplos más complicados: $$f(x)=\sqrt{(x+1)(x+3)}=\sqrt{(x+2)^2-1}$$ $$g(x)=-2+\cosh x$$ $$f(x)=x^\alpha\qquad{\alpha\in\mathbb C}$$ $$g(x)=e^x$$
¿Es esto cierto?
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¿Qué tal si $f(z) = z^{2/3}$ ?
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$z=x^3 \dots \dots$
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Típicamente, las funciones con cortes de rama aparecen como inversas de la función holomórfica en todas las $\mathbb{C}$ (esto cubre todos sus ejemplos). La pregunta es interesante, ya que plantea lo contrario.
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@Fabian Por favor, vea mi nuevo ejemplo añadido.
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@Fabian, Ah, pensé que $g$ debe ser un inverso local de $f$ es decir $f(g(z)) = z$ . Culpa mía por no haber leído atentamente la pregunta :s