9 votos

¿Son los cortes de rama siempre "cancelables"?

Muchas funciones pueden continuarse analíticamente hasta $\mathbb C$ excepto el corte de la rama.

Sin embargo, me parece que para cada función $f(z)$ que tiene un corte de rama, siempre existe una función meromorfa/entera no constante $g(z)$ tal que $f(g(z))$ puede ser continuado analíticamente a la totalidad de $\mathbb C$ .

Por ejemplo, $$\sqrt {x^2}=x$$ $$\ln e^x=x$$ $$\arccos\cos x =x$$ $$\ln\ln e^{e^x}=x$$ $$\operatorname{W}(xe^x)=x$$ Ejemplos más complicados: $$f(x)=\sqrt{(x+1)(x+3)}=\sqrt{(x+2)^2-1}$$ $$g(x)=-2+\cosh x$$ $$f(x)=x^\alpha\qquad{\alpha\in\mathbb C}$$ $$g(x)=e^x$$

¿Es esto cierto?

0 votos

¿Qué tal si $f(z) = z^{2/3}$ ?

0 votos

$z=x^3 \dots \dots$

1 votos

Típicamente, las funciones con cortes de rama aparecen como inversas de la función holomórfica en todas las $\mathbb{C}$ (esto cubre todos sus ejemplos). La pregunta es interesante, ya que plantea lo contrario.

1voto

Grant B. Puntos 101

Efectivamente, siempre hay una función como la que describes.

Primero, elige un disco abierto en $\mathbb{C}$ donde $f$ es analítica. Como $f$ no es constante, hay un punto $a$ en esta región donde $f'(a)\neq 0$ . Así, por el Teorema de inversión de Lagrange existe un inverso local $g(z)$ que es analítica en una vecindad de $f(a)$ . En este barrio, $f(g(z))=z$ y la función de identidad $z$ puede, por supuesto, extenderse al plano complejo.

Ahora bien, como probablemente hayas notado, esta restricción del dominio a un disco abierto antes de la continuación analítica es necesaria. Cualquier $g(z)$ tal que $f(g(z))$ no tiene corte de rama debe evitar el corte de $f$ . Por el teorema de Picard no hay ninguna función entera en $\mathbb{C}$ que puede evitar más de un punto, y ninguna función meromorfa en $\mathbb{C}$ que puede evitar más de dos. Así, para cualquier entero o meromorfo $g$ , ya sea $g$ es constante o la preimagen de la rama cortada bajo $g$ debe ser una rama cortada para $g$ . El segundo caso contradice la meromorficidad de $g$ . Por lo tanto, no hay ninguna meromorfa no constante $g$ tal que $f(g(z))$ es meromorfa en todo $\mathbb{C}$ .

0 votos

Gracias. Lo pensaré un rato para ver si tengo alguna duda.

0 votos

'Cualquier $g(z)$ tal que $f(g(z))$ no tiene corte de rama debe evitar el corte de $f$ .' Umm... no necesariamente. En mi primer ejemplo, $x^2$ no evita $0$ que es el punto de ramificación de $\sqrt x$ .

0 votos

Utilizando el corte de rama estándar para $\sqrt{}$ a lo largo del eje real negativo, la identidad $\sqrt{x^2}=x$ sólo es válido para $\text{Re}(x)>0$ . (Y el punto $x=0$ como has dicho, pero no hay barrio alrededor). La discontinuidad en la función compuesta está en la línea $\text{Re}(x)=0$ .

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X