¿Es el producto interno continuo cuando un arg es fijo?

Question

En un espacio de producto interno con producto interno $\langle\ ,\ \rangle$ y línea real o compleja como su campo base, para cada punto $x$ en el espacio, es $\langle x,-\rangle$ función continua en el segundo argumento, y es $\langle - ,x\rangle$ ¿una función continua sobre el primer argumento? "Continua" se define respecto a la topología inducida por el producto interior.

Gracias y saludos.

Answer 1

Sí.

Fijemos x en el espacio del producto interior, y dejemos que $f(y) = \langle y, x \rangle$ denotan la función del producto interior. Obsérvese que se trata de una función lineal, es decir, es lineal en y, y asigna vectores a escalares.

Es un teorema bien conocido que los funcionales lineales son continuos (en todo el espacio) si y sólo si están acotados. Aquí, "acotado" significa que existe una constante M tal que $|f(y)| \leq M|y|$ para todo y en el espacio.

Que el funcional del producto interior está acotado se deduce ahora de la desigualdad de Cauchy-Schwarz: $|f(y)| \leq |x||y|.$

Answer 2

Fijar $x$ . Tenemos $|\langle x,y\rangle - \langle x,z\rangle| = |\langle x,y-z\rangle|\leq ||x||||y-z||$ por la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Esto nos da fácilmente que $\langle x,-\rangle\colon \mathbf{V}\to\mathbb{F}$ no sólo es continua, sino uniformemente continua. Del mismo modo, para $\langle -,x\rangle$ .

Answer 3

Si definimos $T_x v = \langle v,x\rangle$ entonces $T_x$ es un funcional lineal. Como un producto interno induce una norma, y por lo tanto es continuo si y sólo si está acotado en el círculo unitario.

Y así $|T_x v | = |\langle v,x\rangle | \le \|v\|\cdot \|x\|$ y para $v$ en el círculo unitario, es decir $\|v\| = 1$ tenemos que $T_x$ es efectivamente acotada y, por tanto, continua.

La prueba es similar si se fija el argumento de la izquierda, sin embargo puede no ser un funcional lineal si es un espacio vectorial complejo, sino antilineal (es decir lineal hasta la conjugación). Sin embargo, la norma no se ve afectada por eso, así que no es un gran paso a superar.

Answer 4

Creo que la forma más fácil es demostrar que es una función convexa, y luego utilizar el teorema que dice que si una función convexa definida en un conjunto convexo, entonces la función es continua en cada punto interior. Como estamos hablando de $\Bbb{R}^n$ entonces es cierto para todos los puntos porque $\Bbb{R}^n$ es un conjunto convexo y abierto.