Veamos algunos ejemplos, todos los pasos de la argumentación son, a continuación, también se aplica en los ejemplos:
3300652000033011
12345678987654321
(1) comenzamos con un número escrito en base a $10$, el cual es divisible por $999$. Lo rompen en bloques de números de tres dígitos, comenzando desde el dígito de las unidades, donde se encuentra el "primer bloque". El último bloque puede estar incompleta", en este caso se puede agregar o no ceros en frente de ella. Debido a $1000$ es congruente a un modulo $999$, la suma de estos bloques, considerados como los números de entre los $0$$999$, también es divisible por $999$.
En nuestro caso, hemos separado los grupos
3.300.652.000.033.011
12.345.678.987.654.321
obtener los bloques
003 and respectively 012
300 345
652 678
000 987
033 654
011 321
y la suma de los números correspondientes del es $999$, y, respectivamente,$2997$. Se mantiene divisible por $999$. Queremos demostrar que la suma de los dígitos de los números de los bloques es, al menos,$27$.
(2) repetimos esta operación hasta llegar a un número de tres dígitos. Este número es, por supuesto, $999$ en el primer caso. En el segundo, tenemos nuevamente el grupo 002
y 997
, agregar, consigue $999$, y se detienen aquí.
(3) al finalizar la prueba se nota el hecho de que mirando a la suma de los dígitos en el "bloques" antes y después de aplicar el paso (1), la suma de las gotas (por un múltiplo de $9$), fue más grande que antes, después. Esto tiene algo que ver con el algoritmo de aprender en la escuela. Ponemos dos números uno del otro. Añadimos la unidad de dígitos. Si el resultado es $\le 9$, entonces la contribución de los dígitos de la suma de los dígitos de los dos números que comienzan con es la misma que la correspondiente contribución en el resultado. Los demás tenemos una caída por $9$. Esto va para adelante para la próxima dígitos...
Inductivamente hemos terminado.
Nota: no Hay "nada especial" acerca de $999$, en comparación con $9$, $99$, ... , $\underbrace{99\dots99}_{n\text{ digits}}$, el mismo trabaja mediante la construcción de bloques de longitud $n$ (en el caso general, el último de los que aparecen en esta lista).