17 votos

Múltiplos de $999$ tienen dígitos suma $\geq 27$

¿Cómo podemos demostrar el siguiente afirmación?

La suma de los dígitos de $k\cdot 999$ $\ge 27$

Me registré $k = 1$$9$. Y me encontré con que si es verdad lo de $d$ también es cierto de $10\cdot d$.

También comprobé muchos de los valores con un equipo, parece ser siempre el caso. Además, podemos ver que la suma de dígitos debe ser siempre un múltiplo de 9.

He comprobado cómo probar "echa fuera a los nueves', pero yo no podía aplicar el mismo método aquí, porque es sólo la suma de dígitos no la raíz digital. y $27$ es mayor que la base de nuestra $10$.

3voto

Hagen von Eitzen Puntos 171160

Lema. Deje $n$ ser un entero $\ge 1000$. Entonces existe un entero positivo $m$ tal que $m<n$, $n-m$ es un múltiplo de a $999$ y para el dígito decimal sumas, tenemos $q(m)\le q(n)$.

Prueba. $n$ $k$- dígito decimal expansión $n=\overline{a_ka_{k-1}\ldots a_1}$ ( $k\ge 4$ $a_k\ge1$ ), $m:=n-999\cdot 10^{k-4}$ es no negativo y tiene una expansión decimal $m=\overline{b_kb_{k-1}\ldots b_1}$ donde $b_j=a_j$ todos los $j$ excepto $$\begin{cases}b_k=a_k-1,b_{k-3}=a_{k-3}+1&\text{if }a_{k-3}<9\\ b_k=a_k-1,b_{k-3}=0, b_{k-2}=a_{k-2}+1&\text{if }a_{k-2}<a_{k-3}=9\\ b_k=a_k-1,b_{k-2}=b_{k-3}=0, b_{k-1}=a_{k-1}+1&\text{if }a_{k-1}<a_{k-2}=a_{k-3}=9\\ b_{k-1}=b_{k-2}=b_{k-3}=0&\text{if }a_{k-1}=a_{k-2}=a_{k-3}=9\\ \end{casos} $$ Entonces, por la suma de dígitos de $m$ encontramos en consecuencia $$q(m)=\begin{cases}q(n)\\q(n)-9\\q(n)-18\\q(n)-27\end{cases}\le q(n) $$ Por lo tanto, si $m>0$, la demanda de la siguiente manera. Por otro lado, si $m=0$, se deduce que $n=999\cdot 10^{k-4}$, $q(n)=27$, y podemos tomar $m=999$. $\square$

Corolario. Si $n$ es positivo múltiples de $999$,$q(n)\ge 27$.

Prueba. Por el lema, el conjunto de positivos múltiplos de $999$ con la suma de dígitos $<27$ no tiene ningún elemento más pequeño. $\square$

2voto

dan_fulea Puntos 379

Veamos algunos ejemplos, todos los pasos de la argumentación son, a continuación, también se aplica en los ejemplos:

3300652000033011
12345678987654321

(1) comenzamos con un número escrito en base a $10$, el cual es divisible por $999$. Lo rompen en bloques de números de tres dígitos, comenzando desde el dígito de las unidades, donde se encuentra el "primer bloque". El último bloque puede estar incompleta", en este caso se puede agregar o no ceros en frente de ella. Debido a $1000$ es congruente a un modulo $999$, la suma de estos bloques, considerados como los números de entre los $0$$999$, también es divisible por $999$.

En nuestro caso, hemos separado los grupos

3.300.652.000.033.011
12.345.678.987.654.321

obtener los bloques

003 and respectively 012
300                  345
652                  678
000                  987
033                  654
011                  321

y la suma de los números correspondientes del es $999$, y, respectivamente,$2997$. Se mantiene divisible por $999$. Queremos demostrar que la suma de los dígitos de los números de los bloques es, al menos,$27$.

(2) repetimos esta operación hasta llegar a un número de tres dígitos. Este número es, por supuesto, $999$ en el primer caso. En el segundo, tenemos nuevamente el grupo 002 y 997, agregar, consigue $999$, y se detienen aquí.

(3) al finalizar la prueba se nota el hecho de que mirando a la suma de los dígitos en el "bloques" antes y después de aplicar el paso (1), la suma de las gotas (por un múltiplo de $9$), fue más grande que antes, después. Esto tiene algo que ver con el algoritmo de aprender en la escuela. Ponemos dos números uno del otro. Añadimos la unidad de dígitos. Si el resultado es $\le 9$, entonces la contribución de los dígitos de la suma de los dígitos de los dos números que comienzan con es la misma que la correspondiente contribución en el resultado. Los demás tenemos una caída por $9$. Esto va para adelante para la próxima dígitos...

Inductivamente hemos terminado.

Nota: no Hay "nada especial" acerca de $999$, en comparación con $9$, $99$, ... , $\underbrace{99\dots99}_{n\text{ digits}}$, el mismo trabaja mediante la construcción de bloques de longitud $n$ (en el caso general, el último de los que aparecen en esta lista).

2voto

Szeto Puntos 16

Sólo una respuesta parcial

Esto es cierto para todos los 3 dígitos $k$.

Deje $k=\overline{abc}$.

El $999k=\overline{abc000}-abc$.

Al $c\ne0$:

Para la diferencia:

Unidad de dígitos es $10-c$.

Decenas dígito es $9-b$.

Cientos de dígitos es $9-a$.

Miles de dígitos es $c-1$.

Decenas de miles de dígito(?) es $b$.

Cientos de miles de dígito(?) es $a$.

Por lo tanto la suma de los dígitos es exactamente $27$.


Un enfoque similar se puede demostrar para el caso de $c=0, b>0$$c=0,b=0$.

1voto

fleablood Puntos 5913

$9|999$ , por lo que la suma de los dígitos de cualquier múltiplo de $999$ es un múltiplo de a $9$. Por lo tanto la suma de los dígitos es $9$ o $18$ o $ \ge 27$.

La suma de los dígitos de $999 = 27 \ge 27$.

Deje $k*999$ ser la más baja muy positivo múltiples en los que la suma de los dígitos es $\le 18$.

Oso conmigo:

Deje $B = 999k = \sum_{i=0}^n 10^ib_i$ son supongamos que hay dos dígitos $b_j$$b_j + 3$, de modo que $b_j < 9$$b_{j+3} > 0$.

A continuación, $C = B - 10^i*999 = B -10^i*(1000 - 1) = \sum_{i= 0}^n 10^i c_i$ donde $c_j = b_j + 1$ e e $c_{j+3} = b_{j+3} - 1$$c_i = b_i; i \ne j, j+3$.

Por lo que la suma de los dígitos de $C$ es el mismo que el de los dígitos de $B$, pero que se contradice con que $B$ es el menor múltiplo de $999$ con cifras de la adición de a $18$ o menos.

Ahora $b_n \ne 0$ lo que significa que la $b_{n-3} = 9$$18 > b_n + b_{n-3} \ge 10$, por lo que ninguno de los otros dígitos puede ser igual a $9$. Lo que significa que si hay un dígito distinto de cero $b_j$ debe ser ese $j < 3$.

Esto también significa que la suma de los dígitos deben ser exactamente $18$.

No tenemos muchas opciones posibles para $B$. Para empezar, si $B$ es un múltiplo de a $10$ $\frac B{10}$ es el menor múltiplo de $999$ con las mismas sumas de dígitos. Por lo $b_0 \ne 0$, con los medios de cualquiera de las $b_3 = 0$ o $n =3$.

Para explicar las opciones que tienen. $B = :$

$9009$ que no es un múltiplo de a $999$. o

$abc9$ donde $a +b+c=9; a> 0$ (comprueba fácilmente que ninguno de los nueve primeros múltiplos de $999$ son de fo de este formulario. Todos ellos son de la forma $a99(9-a)$. También se $abc9 - 999 = (a-1)b(c+1)0$ y la suma es menos, y no más.

$a0b9c$ donde $a+b+c = 9; c>0; a > 0$. $a0b9c - 999= (a-1)9b9(c+1)$ de modo que la suma de los dígitos es 27. Por lo $a0b9c = wv*999$ algunos $wv$. Podemos comprobar saber esos números coinciden con los formularios. (Probablemente.... Va a implicar tedioso caso de cheques.)

Opción Final es $a009bc$ y probablemente podemos comprobar no $wv*999$ o $wvz*999$ son de esa forma.

Hay probablemente mucho más pulido manera de hacer esto.

0voto

Benjamin Puntos 101

Si usted está buscando una prueba de la divisibilidad para $27$, tomar la suma de $3$ dígitos grupos a partir de la cifra de las unidades y añadir cualquier necesarios ceros iniciales al grupo líder. La suma coincide con el número original modulo $999$, así también congruentes modulo $27$ $27\times 37=999$. Por ejemplo

$$1{,}485{,}069 \implies 001+485+069=555=20×27+15$$

así que este número no Divisibilidad por $27$. Pero puesto que $37$ es también un factor de $999$ y $555=15\times 37$, el número anterior pasa Divisibilidad por $37$.

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