¿Cómo simplificar$\int{\sqrt[4]{1-8{{x}^{2}}+8{{x}^{4}}-4x\sqrt{{{x}^{2}}-1}+8{{x}^{3}}\sqrt{{{x}^{2}}-1}}dx}$?

Question

Me han preguntado sobre la siguiente integral:

$$\int{\sqrt[4]{1-8{{x}^{2}}+8{{x}^{4}}-4x\sqrt{{{x}^{2}}-1}+8{{x}^{3}}\sqrt{{{x}^{2}}-1}}dx}$ $ Creo que esto es una broma de mal gusto . He intentado todos los métodos elementales de integración que conozco, también intenté integrar usando Maple, pero como sospechaba, la integración no tiene una derivada anti. ¿Algunas ideas?

Answer 1

Use$$\sqrt[4]{1-8x^2+8x^4-4x\sqrt{x^2-1}+8x^3\sqrt{x^{2}-1}}=\left|x+\sqrt{x^2-1}\right|.$ $

Answer 2

Sugerencia:

$(x+\sqrt{x^2-1})^4 = x^4+4x^3\sqrt{x^2-1}+6x^2(x^2-1)+4x(x^2-1)\sqrt{x^2-1}+(x^2-1)^2 = 8x^4-8x^2+1-4x\sqrt{x^2-1}+8x^3\sqrt{x^2-1}$

Answer 3

Sugerencia:

Que $\text{arcsec}x=t, x=\sec t$

Con principales valores, $0\le t\le\pi,t\ne\dfrac\pi2$

$\sin t=\sqrt{\left(1-\dfrac1x\right)^2}=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}$ $\sin t\ge0$

$\tan t=\sin t\sec t=?$

$$1-8x^2+8x^4-4x\sqrt{x^2-1}+8x^3\sqrt{x^2-1}=\dfrac{\cos^4t-8\cos^2t+8-4\sin t\cos^2t+8\sin t}{\cos^4t}$$

Ahora $\cos^4t-8\cos^2t+8-4\sin t\cos^2t+8\sin t$

$=(1-\sin^2t)^2-8(1-\sin^2t)+8-4\sin t(1-\sin^2t)+8\sin t$

$=\sin^4t+4\sin^3t+6\sin^2t+4\sin t+1$

$=(\sin t+1)^4$

Answer 4

$$\frac{1}{16}{{\left( \sqrt{x-1}+\sqrt{x+1} \right)}^{8}}=1-8{{x}^{2}}+8{{x}^{4}}-4x\sqrt{{{x}^{2}}-1}+8{{x}^{3}}\sqrt{{{x}^{2}}-1}$ $ Así que la integral se convierte

$$\begin{align} & =\int{\sqrt[4]{\frac{1}{16}{{\left( \sqrt{x-1}+\sqrt{x+1} \right)}^{8}}}dx} \ & =\frac{1}{2}\int{{{\left( \sqrt{x-1}+\sqrt{x+1} \right)}^{2}}dx} \ & =\int{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)dx} \ \end {Alinee el} $$