¿Cómo resuelves los problemas mecánicos clásicos con la mecánica cuántica?

Question

Tomemos el problema muy simple de lo que ocurre si me cae un 1 kg de pelota desde una altura de 1 metro. Clásicamente, $F = mg$$g \approx 10 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$, por lo que la pelota se siente una fuerza de $10 \, \mathrm{N}$. De $S = ut + 1/2 gt^2$, tenemos que la pelota golpea el suelo en aproximadamente el $\sqrt{1/5} \, \mathrm{s}$. No hay problema.

En principio, la mecánica cuántica también debe ser capaz de hacer esto. Así que empezamos con las 3 dimensiones de tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger con un potencial de $V = -GM/r$: $$ -\frac{\manejadores}{2m}\nabla^2 \psi - \frac{GM}{r}\psi = E\psi \,.$$

Esta es efectivamente la misma ecuación para resolver el átomo de Hidrógeno: una $1/r$ potencial, pero con diferentes coeficientes. Así que la respuesta debe tener el mismo formato, y recibimos a todos los niveles de energía, el n/l/m números cuánticos, etc. Pero cualitativamente, esto es claramente diferente de la clásica resultado. Esto significa que la pelota tiene muchas cuasi-estable de los orbitales por ejemplo, y no dar una predicción exacta de que el balón tocara el suelo en $\sqrt{1/5} \, \mathrm{s}$. En el problema clásico es importante que la pelota se deja caer desde el reposo, de lo contrario el tiempo que tarda en llegar al suelo puede variar. Pero el quantum de la solución no implica que las condiciones iniciales.

¿Qué ha ido mal? Mi primer pensamiento fue que me falta el tiempo-dependiente de la ecuación de Schrödinger en lugar de la hora-independiente de uno, pero que no llevan a ninguna parte - sólo significa que la pelota oscila entre soluciones. Me estoy perdiendo de alguna manera lograr que el clásico resultado de la ecuación de Schrödinger?

Pero no es lo mismo: Es posible la recuperación de la Mecánica Clásica de Schrödinger, ecuación?

Answer 1

Esta pregunta se ha hecho muchas veces antes. La última vez contestada aquí y hay una excelente respuesta aquí que explícitamente se construye una solución que obedece Newtoniana de la gravedad.

Usted es correcto que si la pelota estuviera en un único estado estacionario, entonces no haría nada remotamente parecido a la caída. Se ocuparía algunos de onda estacionaria sobre la Tierra y no evolucionan en el tiempo. La razón por la que nunca vemos los objetos macroscópicos en dichos estados se debe a que son inestables en el mismo sentido como el gato de Schrödinger.

Su propuesta de los estados estacionarios se deslocalizaría la pelota por encima de toda la Tierra, a través de una escala de miles de millas. Pero si usted acaba de mirar en la bola, usted puede medir donde es, el colapso de esta superposición. O, si no te gusta el colapso de la expresión, la interacción de cualquier perdida de fotones con la pelota se enredan a la posición de la bola con el fotón del estado. Este decoheres la enorme posición de superposición se ha construido y se le da a la pelota un poco de la posición definida, a la perspectiva de cualquier observador externo.

Es decir, después de un genérico interacción con el entorno de la pelota rápidamente terminar con su posición alcanzó su punto máximo alrededor de un estrecho valor. (No necesariamente tan estrecha que el principio de incertidumbre entra en juego, pero efectivamente cero para todos los macroscópica propósitos). Estos estados existen en el espacio de Hilbert, como complicadas combinaciones lineales de la energía autoestados. Para ver que el pico de la función de onda obedece a las leyes de Newton, usted puede apelar a la del teorema de Ehrenfest, $$m \frac{d^2 \langle x \rangle}{dt} = - \left\langle \frac{dV}{dx} \right\rangle$$ que inmediatamente da ese resultado.

Usted todavía puede estar preocupado, ya que en la mecánica clásica necesitamos especificar una posición inicial y la velocidad inicial, mientras que en la mecánica cuántica parece que sólo es necesario especificar el analógica de posición. Pero no hay que olvidar la función de onda es complejo. La velocidad de una partícula es codificada por la rapidez con la fase de los vientos alrededor de la posición. Por ejemplo, para la partícula libre, una constante de la función de onda daría un totalmente partícula en reposo, mientras que $e^{ikx}$ daría un movimiento de la partícula. Dado que la bola es pesado, esta propiedad es estable en la interacción con el medio ambiente, como la posición.

Answer 2

La exacta clásica resultado es recuperado sólo en el límite de $\hslash\to 0$. Si uno toma en cuenta el $\hslash$ con su valor real, uno podría obtener correcciones a la clásica resultado, en el plazo de los poderes de $\hslash$ (tales correcciones para un objeto de masa 1 kg son muy pequeños).

El punto es que, de acuerdo a la mecánica cuántica, las condiciones iniciales no puede ser una posición $x_0$ e ímpetu $\xi_0$ en un tiempo fijo. En el clásico (estadística) de la mecánica, la condición inicial es una distribución de probabilidad en el espacio de fase (en el caso que estamos considerando, es un delta de distribución centrada en la condición inicial $(x_0,\xi_0)$). En la mecánica cuántica, la condición inicial es una probabilidad no conmutativa, o estado cuántico, que por lo general se escribe como una matriz de densidad que actúa sobre un espacio de Hilbert "de wavefunctions". Y debido a la noncommutativity, no es posible interpretar la densidad de la matriz como un delta de distribución en el espacio de fase.

Sin embargo, tomemos $H_{\hslash}$ a ser el Hamiltoniano cuántico del sistema (el que escribió, por ejemplo), y $\varrho_\hslash(x_0,\xi_0)$ a ser la densidad de la matriz asociada a lo que se denomina exprimido coherente estado, un estado mínimo la incertidumbre cuántica (esto se hace para estar en un caso que corresponde a un clásico punto del espacio de fase $(x_0,\xi_0)$ (delta de distribución); uno podría tener un diferente estado cuántico, pero entonces también se debería tener en cuenta un clásico diferente de la descripción del sistema, correspondiente a la inicial de la clásica distribución de probabilidad en el espacio de fase que puede no ser un delta). El estado de evolución del sistema cuántico es $\varrho_{\hslash}(t,x_0,\xi_0)=e^{-\frac{it}{\hslash}H_{\hslash}}\varrho_{\hslash}(x_0,\xi_0)\;e^{\frac{it}{\hslash}H_{\hslash}}$. El promedio de la posición de la partícula está dado por $$\mathrm{Tr} \,\varrho_{\hslash}(t,x_0,\xi)\,\hat{x}_{\hslash}\; ,$$ donde $\hat{x}_{\hslash}$ es la posición del operador (he puesto el $\hslash$-dependencia de la posición del operador, porque en general cuántica de los operadores dependen $\hslash$, sin embargo en el estándar QM representación de la canónica de relaciones de conmutación de la posición del operador es independiente de $\hslash$, y todos los que la dependencia es el impulso del operador; se puede cambiar esto por medio de una transformación unitaria).

La función de $\mathrm{Tr} \,\varrho_{\hslash}(t,x_0,\xi_0)\hat{x}_{\hslash}$ es una función del tiempo $t$, de la posición $x_0$, el ímpetu $\xi_0$ a través de la inicial cuántica condición de $\varrho_{\hslash}(x_0,\xi_0)$$\hslash$. Ahora, es posible ampliar la función de los poderes de $\hslash$. Y resulta que $$\mathrm{Tr} \,\varrho_{\hslash}(t,x_0,\xi_0)\hat{x}_{\hslash}= S(t,x_0,\xi_0) + \mathrm{O}(\hslash)\; ,$$ donde $S(t,x_0,\xi_0)$ es el clásico de la trayectoria de la partícula en el tiempo $t$, correspondiente a la condición inicial $(x_0,\xi_0)$. Las correcciones en un determinado poder de $\hslash$ puede ser explícitamente calculada, o al menos numéricamente limitada.

En general, para cada (físicamente razonables, no dejes que me dan todos los detalles aquí) quantum de la densidad de la matriz $\varrho_{\hslash}$ le corresponde un clásico de la probabilidad de medida $\mu$ sobre el espacio de fase $\Omega$. El resultado anterior, en el caso general, sería el siguiente: $$\mathrm{Tr} \,\varrho_{\hslash}(t)\hat{x}_{\hslash}= \int_{\Omega}\mathrm{d}\mu(x,\xi) \, S(t,x,\xi) + \mathrm{O}(\hslash)\; ,$$ donde de nuevo $S(t,x,\xi)$ es la clásica de trayectoria en el tiempo de $t$, correspondiente a la condición inicial $(x,\xi)$. El caso especial de un exprimido coherente estado está incluido, ya que en ese caso la medida es un delta de distribución, como ya se comentó anteriormente.