El Grassmanniano lagrangiano$LG(2,4)$ es un subdistribuidor tridimensional del colector herbario de 4 dimensiones original$Gr(2,4)$. ¿Hay una buena descripción del complemento$Gr(2,4) \setminus LG(2,4)$?
Respuestas
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El Grassmannian $Gr(2,4)$ es un buen quadric en $\mathbb{P}^5$, e $LGr(2,4)$ es su suave hyperplane sección. Por lo tanto, el complemento es un buen afín quadric. Más de $\mathbb{C}$ se puede describir en el espacio afín $\mathbb{A}^5$ como la hipersuperficie $$ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 = 1. $$
EDIT. También hay una construcción similar para $Gr(3,6) \setminus LGr(3,6)$. Si $U \subset V := \mathbb{C}^6$ es un 3-en el subespacio, que no es isotrópica, entonces la restricción de la forma simpléctica a $U$ tiene rango 2, por lo tanto tiene un 1-dimensional en el espacio del kernel. Esto le da un mapa $$ Gr(3,6) \setminus LGr(3,6) \to \mathbb{P}(V). $$ Su fibra a punto de $v \in V$ es fácilmente visto a $Gr(2,\bar{V}) \setminus LGr(2,\bar{V})$ donde $\bar{V} := v^\perp/v$ con sus inducida por la forma simpléctica. Por lo tanto, el mapa es un fibration con fibras de ser de 4 dimensiones afín quadrics. Nota, sin embargo, que el ambiente afín espacio fibration por ello no es trivial!
user99914
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En esta de baja dimensionalidad caso todo son explícitos al menos para las orientadas caso: Las orientadas Grassmanian $G(2, 4)$ es isomorfo a $\mathbb S^2 \times \mathbb S^2$. Esto es bien conocido y se explica muy claramente en la respuesta aquí. En particular, si elegimos la orthornormal base $\{e_1, e_2, e_3, e_4\}$, de modo que la forma simpléctica es
$$ \omega = e^1 \wedge e^2 + e^3 \wedge e^4, $$
entonces el Lagrangiano de avión $L$ son precisamente aquellos sin los $e_1 \wedge e_2 + e_3\wedge e_4-$ componente. Así
$$ Gr_+(2, 4) \cong \mathbb S^2 \times \mathbb S^2, \ \ \ \ LG_+(2, 4) = \mathbb S^1 \times \mathbb S^2.$$
Por lo $Gr_+(2, 4)\setminus LG_+(2, 4)$ es diffeomorphic a dos disjuntos copias de $D \times \mathbb S^2$.
Andreas Cap
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2346
La descomposición de$Gr(2,4)$ está determinada por la restricción de la forma bilineal simétrica oblicua. Lagrange Grassmannian consiste en aquellos planos para los cuales esta restricción es cero, el complemento de aquellos planos para los cuales la restricción no es degenerada. (No hay otra posibilidad, ya que una forma sesgada simétrica tiene que tener un rango uniforme).
