¿En qué sentido bosones de Goldstone en vivo en el coset?

Question

Goldstone del teorema dice que si un grupo, $G$, está roto en su subgrupo, $H$, las partículas sin masa aparecerá. El número de partículas sin masa está dada por la dimensión de la coset, $G/H$. Es entonces a menudo se dice que el bosón de Goldstone en vivo en el coset. ¿En qué sentido es esta afirmación verdadera? El Lagrangiano no es invariante bajo transformaciones de la coset entonces, ¿qué hace este "vivir" explícitamente significa?

Ser explícito se puede considerar que la lineal sigma modelo: \begin{equation} {\cal L} = \frac{1}{2} \partial _\mu \phi ^i \partial^\mu \phi ^i - \frac{m ^2 }{2} \phi ^i \phi ^i - \frac{ \lambda }{ 4} ( \phi ^i \phi ^i ) ^2 \end{equation}

Definimos, \begin{align} & \phi _i \equiv \pi _i \quad \forall i \neq N\\ & \phi _N \equiv \sigma \end{align} y dar $\sigma$ un VEV.

Espontáneamente rota de Lagrange es, \begin{equation} {\cal L} = \frac{1}{2} \partial _\mu \pi _i \partial ^\mu \pi _i + \frac{1}{2} ( \partial _\mu \sigma ) ^2 - \frac{1}{2} ( 2 \mu ^2 ) \sigma ^2 - \lambda v \sigma ^3 - \frac{ \lambda }{ 4} \sigma ^4 - \frac{ \lambda }{ 2} \pi _i \pi _i \sigma ^2 - \lambda v \pi _i \pi _i \sigma - \frac{ \lambda }{ 4} ( \pi _i \pi _i ) ^2 \end{equation} Los bosones de Goldstone, $\pi_i$, exibit a $O(N-1)$ simetría, pero este no es el coset grupo de simetría. Así que cuando en el Lagrangiano vemos que este simetría?

Answer 1

Entiendo que la declaración de la siguiente manera:

Pions, que son pseudo-bosones de goldstone de la ruptura de la simetría quiral, se describen mediante la introducción de una matriz unitaria $U(x)$, que se define como

$$U(x)=\text{exp}\left(2i\pi^a(x)T^af_\pi^{-1}\right),$$

donde $\pi^a$ es el pion campo, $f_\pi$ es el pion decaimiento constante y $T^a$ son los generadores de la ruptura de la simetría, es decir, el coset espacio. El pion de Lagrange puede ser escrita en términos de $U(x)$

$$\mathcal{L}=-\frac14 f_\pi^2\text{Tr}\partial^\mu U^\dagger\partial_\mu U,$$

que mediante la expansión de la forma exponencial de los resultados en

$$\mathcal{L}=-\frac12\partial^\mu \pi^a\partial_\mu \pi^a+\dots,$$

donde los puntos indican los términos de orden superior. Por lo tanto, la declaración de que los bosones de goldstone en vivo en el coset espacio puede estar relacionado con el hecho de que los campos están vinculados a los generadores de la coset.

Esto puede ser entendido en términos de Goldstone del teorema: si el original de Lagrange presenta una simetría continua, el número de bosones de goldstone es igual al número de generadores de la ruptura de la simetría. Tomemos, por ejemplo, el lineal sigma modelo: si el original de la teoría de la es $O(N)$-simétrica, ha $N(N-1)/2$ simetrías. Si la simetría se rompe espontáneamente, se termina con $O(N-1)$, dejando $(N-1)(N-2)/2$ simetrías. La cantidad de fracturas de simetrías es la diferencia, es decir,$N-1$. Pero este es precisamente el número de pions que tiene en su teoría. Podemos concluir que la pions están vinculados directamente a la quebrada simetrías, es decir, el coset espacio.

Answer 2

De hecho, es muy sencilla, si usted usa una diferente configuración de parámetros de los campos. Como nos preocupamos por los bosones de Goldstone sólo, sólo tienes que enviarnos $\lambda\rightarrow \infty$, de modo que el Higgslike estado desacopla. De pasar a la siguiente parametrización
$$ \phi_i(x)=U(x)\langle \phi_i\rangle \,,\qquad U(x)=e^{i \hat{T}^a \pi^a(x)}\,,\qquad \langle\phi_i\rangle=\left(0,0,0\ldots,v\right)^T $$ (donde $\hat{T}^a$ son los rotos generadores) puede ver inmediatamente que no es un indicador de la redundancia en las definiciones de la pion campos de $\pi^a(x)$ ya que nos permite rotar con un $x-$dependiente de la transformación $h(x)$ de la ininterrumpida grupo $H$, es decir, $$ \phi_i(x)=U(x)\langle \phi_i\rangle=U(x)h(x)\langle \phi_i\rangle\,. $$ En otras palabras, el pion campo está definido sólo hasta esta equivalencia $U(x)\sim U(x)h(x)$, que es la declaración de que ellos viven en la coset espacio de $G/H$.