Existencia de soluciones para un$2-$ sistema de ecuaciones de congruencias

Question

¿Existe$a, b> 1$, tal que

ps

Answer 1

Si la $2$ relaciones son ciertas, entonces $$b^2\big|a^4-1 \Rightarrow b^2\big|(a^2+1)(a+1)(a-1)$$ y $$a^2\big|b^4-1 \Rightarrow a^2\big|(b^2+1)(b+1)(b-1)$$

También tenemos las relaciones de abajo para el adecuado enteros positivos $k,l$ que $$a^4=kb^2+1$$ $$b^4=la^2+1$$

Por lo tanto $$a^4-b^4=kb^2-la^2$$ or $$a^2(a^2+l)=b^2(b^2+k)$$ Para que esto se sostenga, $a^2$ divide tanto a L. H. S. y R. H. S.

Pero $a^2$ $b^2$ no dividir cada una de las otras, como por el dado de las relaciones.

Así $$a^2\big|b^2+k$$ and similarly $$b^2\big|a^2+l$$

Desde $k,l$ son positivas, $$a^2\big|b^2+k \Rightarrow b^2>a^2$$ and similarly $$b^2\big|a^2+l \Rightarrow a^2>b^2$$

Ambos de estos no puede ser cierto juntos.

Por tanto, $a,b$ no existen.