Demostrar que existe un único $n$-ésimo polinomio de grado que pasa a través de $n+1$ puntos en el plano

Question

Sé que dados dos puntos en el plano de $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$ existe un único 1^{pt de} grado (lineal) el polinomio que pasa por esos puntos. Todos aprendimos en el Álgebra de cómo encontrar la pendiente entre los puntos y, a continuación, calcular el intercepto.

Tomar abajo de una muesca, dado el punto de $(a,b)$, la única de 0^º de grado del polinomio que pasa a través de es $y=b$.

Mi conjetura es que dados tres puntos $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, y $(x_3,y_3)$, existe un 2^nd grado (cuadráticas) el polinomio que pasa por estos puntos, y además, que el polinomio es único. Me pregunto, ¿cómo se podía determinar la ecuación de esta cuadrática?

Si mi conjetura es correcta, un corolario sería la generalización de que dado cualquier $\left(n+1\right)$ puntos en el plano, existe una única $n$^th grado del polinomio que pasa por esos puntos.

Por favor, probar o refutar con un contra-ejemplo.

Otras Lecturas:

• 658789 es una pregunta relacionada pero no estoy seguro de si es exactamente lo que estoy buscando.
• Esta muy chulo web interactiva de la aplicación le permite arrastrar los puntos de la vuelta y muestra el polinomio que pasa a través de ellos

Answer 1

Suponga que usted ha dado a $n+1$ $(x_1,y_1),\cdots, (x_{n+1},y_{n+1}).$ (De curso, $x_i\ne x_j$ si $i\ne j.$) Un polinomio de grado $n$ es de la forma $p_n(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0.$ Para estudiar la existencia y unicidad de un polinomio de considerar el sistema de ecuaciones lineales:

$$ \left\{\begin{array}{ccc} a_nx_1^n+a_{n-1}x_1^{n-1}\cdots+a_1x_1+a_0 & =& y_1\\ \cdots & &\\ a_nx_1^n++a_{n-1}x_n^{n-1}\cdots+a_1x_1+a_0 & =& y_n \end{array}\right. $$

Podemos escribir el sistema como

$$ \begin{pmatrix}x_1^n & x_1^{n-1} &\cdots & x_1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n^n & x_n^{n-1}& \cdots & x_n & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_n \\ \vdots \\ a_0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_1 \end{pmatrix} $$

Debido a que la matriz de coeficientes del sistema es no singular (es una matriz de Vandermonde (ver Vandermonde) el sistema tiene una solución única, es decir, existe un polinomio de grado $n$ a través de la $n+1$ puntos dados, y es único.

Answer 2

Para una prueba fácil de la singularidad de dicho polinomio (johannesvalks da existencia) supongamos que tenemos$f,g$ de grado$n$ con$f(x_i)=g(x_i)=y_i$ para$1\leq i \leq n+1$.

Entonces$f-g$ tiene un grado no mayor que$n$, entonces si$f-g\ne 0$ entonces$f-g$ tiene como máximo$n$ roots, pero$f-g$ tiene al menos$n+1$ roots así que$f=g$.

Answer 3

Puede definir

$$ P_k(x) = \prod_{\jmath \ne k}^n \frac{ x - x_\jmath }{ x_k - x_\jmath } $$

Es claro que

$$ P_k(x_\ell) = \delta_{k\ell} $$

A continuación, puede definir

$$ f(x) = \sum_{k=1}^n y_k P_k(x) $$

y usted encontrará

$$ f(x_\ell) = \sum_{k=1}^n y_k \delta_{k\ell} = y_l$$

La función de $f(x)$ es un polinomio de grado $n-1$

Así pues, en general, un polinomio está dado por

$$ f(x) = \sum_{k=1}^n y_k \prod_{\ell \ne k}^n \frac{ x - x_\ell }{ x_k - x_\ell} $$

---

Dos puntos de da

$$ f(x) = y_1 \frac{x-x_2}{x_1-x_2} + y_2 \frac{x-x_1}{x_2-x_1} $$

Tres puntos de da

$$ f(x) = y_1 \frac{x-x_2}{x_1-x_2} \frac{x-x_3}{x_1-x_3} + y_2 \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \frac{x-x_3}{x_2-x_3} + y_3 \frac{x-x_1}{x_3-x_1} \frac{x-x_2}{x_3-x_2} $$

Cuatro puntos de da

$$ f(x) = y_1 \frac{x-x_2}{x_1-x_2} \frac{x-x_3}{x_1-x_3} \frac{x-x_4}{x_1-x_4} + y_2 \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \frac{x-x_3}{x_2-x_3} \frac{x-x_4}{x_2-x_4}\\ + y_3 \frac{x-x_1}{x_3-x_1} \frac{x-x_2}{x_3-x_2} \frac{x-x_4}{x_3-x_4} + y_4 \frac{x-x_1}{x_4-x_1} \frac{x-x_2}{x_4-x_2} \frac{x-x_3}{x_4-x_3}$$

y así sucesivamente...