El subconjunto denso del espacio de Hilbert tiene complemento ortogonal trivial

Question

Si $D$ es un subconjunto denso (no un subespacio) de un espacio de Hilbert entonces es el complemento ortogonal de $D$ igual a $\{ 0 \}$ ?

Esto es cierto si $D$ es un subespacio, pero si sólo se sabe que $D$ es un subconjunto no se puede aplicar el teorema de descomposición. ¿Alguna idea?

Answer 1

Fijar un vector $v$ en el complemento ortogonal. La función $x\mapsto \langle x,v\rangle$ es continua en el espacio de Hilbert. Como desaparece en un subconjunto denso, desaparece idénticamente. En particular, desaparece en $v$ .